通信网理论基础(修订版)习题解答

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1、2.2求M/M/m（n）中，等待时间w的概率密度函数。解：M/M/m（n）的概率分布为：假定n>m，n≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x的概率。其中，Pj{w>x}的概率为：可得：特别的，新到顾客需等待的概率为：第33页共33页2.4求M/D/1排队问题中等待时间W的一、二、三阶矩m1、m2、m3，D表示服务时间为定值b，到达率为。解：其中从而又2.5求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间，其中B是二阶指数分布：第33页共33页解：M/B/1B/M/1B/B/1设到达的概率密度函数为设离去的概率密度函数为假设第33页共33页2.6在D/D/1排队问

2、题中，顾客到达的时间间隔为a，服务时间为b，均为恒定值，且a>b，求：稳定状态时系统的队列长度为k的概率pk，顾客到达时队列的长度为k的概率vk，顾客离去时队列的长度dk，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a≤b的情况。解：由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经过b后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b后，下一个顾客到达。此时有：顾客不等待时第33页共33页G/G/1上界公式当a

3、中E2是二阶爱尔兰分布，解：设相邻呼叫到达间隔为t，如果服务时间，将造成呼损，时无呼损。2.8在优先级别队列中，A队为优先级，不拒绝，B队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A队无人时才能被服务，求各状态概率，A队的平均等待时间和B队的拒绝概率。解：说明：0状态代表系统中无顾客状态；i，j状态代表系统中正在服务且A队中有i个顾客，B队列中有j个顾客排队的状态。状态转移图如右，A队到达率为，B队到达率为，服务率，系统稳定时，应有第33页共33页可得到特征方程如下:由于4是差分方程，不妨设其通解为：代入有：由于5是非齐次差分方程：其特征根为：假设其通解为：代入前式得：解之

4、，得：代入3式得：即：由正则条件：第33页共33页2.9排队系统中有三个队列,其到达率分别为公用同一出线路，其中a类最优先，即线路有空闲就发送；b类次之，即a无排队时可以发送，c类最低，即a，b类均无排队时可以发送，不计正在传送的业务，各个队列的截至队长为na＝2，nb=1，nc＝0，试列出稳定状态下的状态方程，并计算时，各状态的概率和三类呼叫的呼损。解：r，s，k分别表示a，b，c三队中等待的呼叫数，状态以（r，s，k）表示。稳态方程：第33页共33页归一条件若令C类呼损为：B类呼损为：A类呼损为：2.10有一个三端网络，端点为，边为及，v1到v3的业务由v2转接，设所有的端之间的

5、业务到达率为，线路的服务率为的M

6、M

7、1(1)问题，当采用即时拒绝的方式时，求：1)各个端的业务呼损。2)网络的总通过量。3)线路的利用率。解：令：00表示e1,e2均空闲。10表示e1忙,e2闲（即e1由v1,v2间业务占用）。01表示e1闲,e2忙（即e2由v2,v3间业务占用）。11表示e1,e2均忙，且分别由v1v2,v2v3间业务占用。★表示e1,e2均忙，且由v1，v3间业务占用。第33页共33页状态转移图如右：当时有下列关系:又解之得:呼损而通过量线路利用率2.11上题中的网若用于传送数据包,到达率仍为l每秒,平均包长为b比特,边的容量为c比特/秒,采用不拒绝的方式,并

8、设各端的存储容量足够大,求:(1)稳定条件。(2)网络的平均时延。(3)总的通过量。(4)线路的平均利用率。解：这是一个无损但有时延的系统。两条线路上到达率为：2l，而服务率为：c/b的M/M/1系统。(1)稳定条件为：2lb/c<1。第33页共33页(2)网络的平均时延：对v1v2和v2v3间的业务：对v1v3间的业务：(3)系统稳定时，总的通过量为：3lb/c。(4)线路的平均利用率h=r=2lb/c。一般来说，通过率与利用率均有增加，这是以稳定性和时延为代价换来的。2.12在分组交换系统中，设信息包以泊松率到达，平均到达率为l，但信息包的长度为固定b比特，信道容量为c比特/秒。

9、由于端内存储量的限制，设除了在传送的包外，只允许有两个信息包等待传送，试：(1)列出关于dr(顾客离去时的队长)的系统方程(2)解出个dr.(3)求平均时延。(4)求信息包被拒绝的概率。解：其中p0是第4个顾客被拒绝离去之后，第3个顾客的残余寿命中无顾客到达的概率。这里到达是随机的，可知：第33页共33页设则平均时延：拒绝概率：2.13有四个端三条边组成的数据网，如图所示。端间的信息包分别为和每秒，信息包长度为负指数分布，平均包长为k比特，各信道容量分别为