椭圆概念

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1、椭圆的基本概念（高二）1．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（　　　）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为　　　　　　　　　　。这两个定点叫椭圆的　　　　，两个焦点之间的距离叫做椭圆的　　　。2．椭圆的第二定义：平面内，到定点的距离与到定直线　　　　　的距离之比是常数（即　　　）的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数叫做椭圆的　　　。二．椭圆的标准方程3．当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为　　　　　　　，其中焦点坐标为，，且　　　　　　；　当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为　　　　　　　，其中焦点

2、坐标为，，且　　　　　　.当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。三．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形yA2B2OA1B1F2F1yA2B2OA1B1F2F1x焦点坐标F1（　　　）,F2（c,0）F1（0,c）,F2（）对称性关于x,y轴成中心对称关于原点成中心对称　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　顶点坐标A1（－a,0），A2()B1()，B2(0,b)A1（　　　），A2(0,a)B1(－b,0)，B2()范围　　　

3、　　　　　，　　　长轴短轴长轴A1A2的长为　　　短轴B1B2的长为　　　　　　长轴A1A2的长为　　　短轴B1B2的长为　　　离心率椭圆的焦距与长轴长的比e＝　　　椭圆的焦距与长轴长的比e＝　　　准线方程　x=y=［特别提醒］1．本部分的重点是掌握椭圆的定义，离心率与a,b,c之间的关系和椭圆方程的求法，定义和性质的应用是椭圆知识的重点。突破重点的关键，一是要掌握好定义的几何条件，即椭圆＝是常数；二是要熟练掌握椭圆标准方程的求法及其特点，运用定义时要注意隐含条件，明确离心率确定椭圆的形状。2．通过对椭圆的范围

4、、对称性、特殊点（顶点、焦点、中心）、准线、对称轴及其它特性的讨论从整体上把握椭圆的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质。因此在复习中就注意图形与性质对照，方程与性质对照来理解，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质。由椭圆的定义得到椭圆上任意一点到焦点的距离（即焦半径）公式（或）在解题中有着重要的作用。3．涉及到直线与椭圆的位置关系问题时，可以通过讨论椭圆方程与直线方程组的实数解的个数来确定，通常来说消元后得到一个关于x或y的一元二次方程，要注意判别式及韦达定理的运用，特别是方程思想、整体思想在解题

5、过程中的应用。4．求椭圆标准方程的常用方法是待定系数法和轨迹方程法。直线与椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程则由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中的重要方法之一。另外，利用直线、弦长、圆锥曲线三者间的关系组成各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中利用直线方程、直线与椭圆相交后的弦求椭圆方程是各类试题中最难的试题，也是高考的热点题型之一。例1．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且

6、PF1

7、：

8、PF2

9、＝4：3，求PF1F2的面积。［剖析］本题运用了椭圆的定义来解题。椭圆定义是用椭圆上任

10、意一点P到两焦点的距离之和来描述的，定义中

11、PF1

12、＋

13、PF2

14、＝2a＞

15、F1F2

16、.定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程。因此在解题过程中，遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够使椭圆的定义来解决。1.2.与圆外切，且与圆内切的动圆圆心的轨迹方程是__________。3.已知圆，圆内一定点（3，0），圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程.例2．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。［剖析］由题设条件设出

17、椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键。因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况。［警示］求椭圆的标准方程，需要一个定位条件和两个定形条件，通常采用待定系数法解决。椭圆中有“六点”（即两个交点与四个顶点）“四线”（即两条对称轴与两条准线），因此在解题时要注意它们对椭圆方程的影响，如在求椭圆的标准方程时，当遇到焦点位置不确定时，应注意有两种结果。例3．求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.［警示］由于题（1）中的

18、椭圆是唯一存在的，为了运算方便，可设其方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，而不必考虑焦点的位置，求接求得椭圆的方程；题（2）中椭圆变形为，其焦点坐标为，，所设的方程是具有共同焦点的，的椭圆系方程。遇到与本题类似的问题，我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程。［变式训练］3.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；(2)经过点，且与椭圆具有共同的