中学数学竞赛讲座及练习(第13讲)+从三角形内角和谈起

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1、中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第13讲)从三角形内角和谈起第十三讲从三角形内角和谈起　　三角形的内角和等于180°(也称一个平角)是三角形的一个基本性质．从它出发可引出下面两个事实：　　(1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和．　　如图1－35所示．延长三角形的三条边，由三角形一条边及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角．如图1－35中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．由于∠1+∠ABC=180°(平角)，　　又∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，　　所以∠1=∠BAC+∠BCA．　　同法可证∠3=∠BAC+∠ABC，∠5=∠ABC+∠ACB．　　(2)n边

2、形的内角和等于(n-2)×180°．　　如图1－36所示．以n边形A1A2…An的某一个顶点(如A1)为共同顶点，将这个n边形“分割成”n-2个三角形△A1A2A3，△A1A3A4，…，△A1An-1An．由于每一个三角形的内角和等于180°，所以，这n-2个三角形的内角和(即n边形的内角和)为(n-2)×180°(详证见后面例6)．三角形内角和等于180°这个事实有着广泛的应用．例1如图1－37所示．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．　　说明依据图形的特点，利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中，是利用三角形内角和性质

3、的前提．第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第13讲)从三角形内角和谈起　　例2求如图1－38所示图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．　　例3如图1－40所示．在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，且∠D=30°．求∠A的度数．　　　说明解决本题的关键在于两条角平分线架起了△ABC与△BCD之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡．细心审题，发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提．第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第13讲)从三角形内角和谈起例4如图1-41所示．∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG

4、．求∠F的度数．例5如图1－42所示．△ABC的边BA延长线与外角∠ACE的平分线交于D．求证：∠BAC＞∠B．　第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第13讲)从三角形内角和谈起　　由于多边形可以分割为若干个三角形，因而多边形的内角和可以转化为三角形内角和来计算．下面我们来求n(n≥3的自然数)边形的内角和．　　例6n边形的内角和等于(n-2)·180°．　　说明(1)从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路．如本题从n=4，5入手，找到将多边形分割为三角形的方法(这是一个本质的方法)，从而可以推广到n为任意自然数的范围中去．　　(2)各条边都相等，各个内角都相等的多边形称为

5、正多边形．由本例自然可以推出正n边形每一个内角的大小．　　设正n边形的一个内角大小为，则n边形的内角和=，　　所以　　例如正五边形的内角的度数为　　　正十边形的内角度数为第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第13讲)从三角形内角和谈起　练习十三　　　1．如图1－46所示．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．2．如图1－47所示．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．　　　3．如图1－48所示．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．　　4．如图1-49所示．求∠a+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的大小．　第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第13讲)从三角形内角和谈起

6、5．如图1－50所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：∠ACD＞∠B．　　　6．若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数：　　(1)1260°；(2)2160°．　　7．证明：n边形的外角和等于360°．第6页共6页