2010年数模培训讲座

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1、第一讲数学模型和数学建模一、数学模型数学模型就是使用数字、字母以及其它符号来体现和描述现实原型的各种因素形式以及数量关系的一种数学结构。它通常表现为定律、定理、公式、算法、以及图表等。马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。可以认为，数学在各门科学中被应用的水平标志着这门科学发展的水平。随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学、技术到工农业生产建设，从经济到社会的各个领域。一般的说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都

2、离不开数学的应用，而如何将已有的数学成果应用于实际问题，就需要建立数学模型来解决。二、数学建模简单来说，就是用数学的语言和方法通过抽象、简化去近似地刻划实际问题，进而通过计算机分析得出结果，再回到实际中接受检验，逐步完善，最终解决实际问题，以求得更高的经济、社会效益。三、建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型是一种十分复杂的创造性劳动，因此不可能用一些条条框框规定出每种模型如何建立，这里所说的步骤只是一种大体上的规划，具体问题具体分析，灵活应用，边干边创造。1、模型准备当我们得到或接受一个现实原型，或者说一个实际问题要建立数学模型时

3、，首先要对原型进行仔细的分析，明确建模的目的，特别是对生产实际问题，要到原型所处的环境中进行深入的调查研究，了解用户对问题的各种要求，搜集已有的各种资料和数据，为建立数学模型提供可靠的依据。2、模型假设根据原型的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化、并用精确的语言作出假设。一般的说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也难求解。不同的简化假设会得到不同的数学模型。假设做得太少，试图把复杂的原型的各方面因素都考虑得很周全，则或者模型无法建立，或者建立的模型在数学上取法求解；假设做得太多，把本应当考虑的因素

4、都忽略掉，模型固然好建立并容易求解，但这时模型可能反映不了原型，也是失败。总之，模型假设要根据问题的要求，本着抓主要矛盾的方针合理的作出。3、模型构成根据所作的假设分析原型各环节之间的因果关系，利用其内在规律和适当的数学工具，建立各个量（常量与变量）之间的等式（或不等式）关系或其他数学结构。这里除需要一些相关学科的专门知识外，数学方面必要的知识是必需的。如果遇到所用工具不够，就要进行大胆的创造，这是建立数学模型最重要的一步。4、模型求解采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法得到模型的结果，就是模型

5、求解。这里需要特别提出的是，随着数学模型这门学科的不断发展，计算机技术成为了重要的甚至是必不可少的工具。5、模型分析对模型的结果进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有事实根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制。不论哪种情况还常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。6、模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题中去，并和实际的现象、数据进行比较，以检验模型的合理性和实用性，模型检验的结果如果不符合或部分不符合实际，问题通常处在模型假设上，应该修改、补充假设、

6、重新建模。有时模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意。四、建立数学模型的逻辑思维方法建立数学模型是一种创造性的思维活动,没有统一模式和固定的方法.建立数学模型需要较强的抽象概括能力,数学语言的翻译能力,善于抓住本质的洞察能力，联想及综合分析能力，掌握和使用当代科技成果的能力等。从逻辑思维的角度看，抽象、归纳、演绎、类比、模拟等方法被大量的采用，这些方法在数学建模的过程中起到重要的作用。抽象就是忽略每个具体事物的特殊性，寻找事物发展变化的共性和一般规律。归纳就是在观察、经验或实验的基础上，依据若干已知的不完全的现

7、象推断尚属未知的现象，即从特殊的、具体的认识推进到一般认识的一种思维方式。演绎是由一般性的命题推出具体命题的推理方法，演绎法可以把特殊情况明晰化，把蕴涵的性质揭示出来，有助于科学的理论化和体系化。类比是在两类不同的事物间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似处的一种思维方式，。类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测被正在研究中的其他事物的属性，类比的结果只是猜测性的，不一定可靠，但它有发现的功能，是创造性思维的重要方法。模拟是人们仿照事物发展变化的机理和过程去描述和研究其变化情况的一种方法，一般是用一个

8、简化、迅速、经济、安全的系统对原系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测一个系统的行为效果，这是解决复杂实际问题的一条有效途径。值得指出的是，数学建模是一种创造性的劳动，除了以上提出的各方面的能力之外，直觉和灵感有时在