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1、（20__届）本科毕业设计信息与计算科学最小二乘法及其应用16正文目录摘要和关键字………………………………………………………………………21最小二乘法的定义及其基本公式………………………………………………21.1最小二乘法的定义…………………………………………………………21.2最小二乘法的基本公式……………………………………………………42几种最小二乘法的介绍及其应用………………………………………………52.1整体最小二乘法……………………………………………………………52.2递推最小二乘法……………………………………………………
2、………72.3泛最小二乘法………………………………………………………………72.4非线性最小二乘法…………………………………………………………83最小二乘法的应用………………………………………………………………93.1最小二乘法在水位推算中的应用…………………………………………93.2用最小二乘法预测医院住院人数…………………………………………113.3利用最小二乘法检验外商直接投资与中国经济增长的关系……………134总结………………………………………………………………………………15谢辞…………………………………………………………
3、………………………15主要参考文献………………………………………………………………………15摘要和关键字的英文………………………………………………………………1716最小二乘法及其应用摘要；数值方法是高等代数的重要组成部分。本文先介绍数值方法中最小二乘法的定义及其基本公式，接着介绍了从最小二乘法扩展开的整体最小二乘法,递推最小二乘法，泛最小二乘法，非线性最小二乘法。最后例举几个最小二乘法在实际中的应用，直接的反应了最小二乘法的的作用。关键字；最小二乘法、递推、泛、非线性1.最小二乘法的定义及其基本公式1.1最小二乘法的定义[1]在自
4、然科学、社会科学等领域内，为确定客观存在着的变量之间的函数关系，需根据大量的实验、观测或社会调查所得的数据建立函数关系式。这些数据中往往带有随机的误差，但有时却无法重新采集。如果利用这些数据按插值法球函数关系近似表达式，必然将不合理的误差（形象地称作“噪声”）带入函数关系式中来。如测试某物体的直线运动，得到，得到一组数据（，）(=0,1,,m),将其描在坐标平面上，如图1，由于测试有误差，所以数据点没能落在一条直线上。显然，再用插值法求运动方程，会得出不符合实际的结果，必须寻求新的方法。（图1）根据Ots平面上测试点的分布情况，可以
5、画出很多条靠近这些点的直线，其方程都可以表示为，（1）其中,为待定参数。我们要从形如（1）的所有直线中，找出一条用某种度量标准来衡量为最靠近所有数据点（，）(=0,1,,m)的直线。令=-，用表示测试数据（，）的重度，称为权系数，通常用16==。作为衡量与数据点（，）(=0,1,,m)偏离大小的度量标准，通常用定（1）式中的待定参数比较方便。我们将上述问题推广至一般情形。设（，）(=0,1,,m)为给定的一组数据，(=0,1,,m)为个点的权系数（通常要求诸0），要求在函数类=span{,,,}中，求一函数=（）,（2）满足==，（
6、3）其中=为中任意函数。称按条件（3）求函数的方法为数据拟合的最小二乘法，简称最小二乘法。并称为最小二乘解，为拟合函数。下面我们用一个例题来更加详细的了解最小二乘法的用法。首先利用法方程公式中的内积：，。（4）例1求拟合下列数据的最小二乘解。01234560.00.20.40.60.81.01.20.91.92.83.34.05.76.5解（1）可以再坐标平面上描出点（，）（=0，1，，6）。16（2）根据散点的分布情况，选用线性函数作拟合函数故取，。（3）建立法方程组，这里。现在可以利用公式（4）计算，，，，法方程组为。用直接三角
7、分解法解得=0.843，=4.57。从而为所求最小二乘法。平方误差：。1.2最小二乘法的基本公式最小二乘法的误差基本公式如下：∑()()=∑（）=∑-∑-∑+=∑--+=∑-。∑=∑[-+]=∑-+=∑-。2.几种最小二乘法的介绍及其应用2.1整体最小二乘法[2]针对在直线拟合中，因变量选取不同拟合的结果又差异现象，可采用整体最小二乘法进行直线拟合。16直线方程可表示为=+（=1，2,）（5）式中，（，）为测点坐标，为直线的斜率，为轴的截距，、为待估参数，、为他们的近似值。令,,以作为因变量，以为自变量，误差方程为。（6）误差方程矩
8、阵表达式。（7）其中，，，。按最小二乘法则，即。（8）其最小二乘法为。（9）其因变量残差。（10）单位权中误差。（11）实际工程中也有采用横坐标为因变量，纵坐标为自变量进行拟合，这时直线方程可表示为（=1，2，，）。（12）如果考虑到
