资源描述：
《最小二乘法及其应用.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、门‘用学一门最小二乘法及其应用陆健,江苏连云港!中共连云港市委党校!∀#摘要∃探讨了最小二柬法的基本原理、几何解释、线性拟合和若干非线性拟合及其在物理、化学子学科中的应用。关词%最小二乘法%曲线拟合%矛质方程组%正规方程组&∋()(∗+,−./∗0(1(,∋2345637,+965(∗,52:48);<5∗:∗,)5:=/:>∗:>8∗0,=7:+,5,/,()5∗:=/:>∗:>!!∀#+,0∗(,∃:,+∗(0(∗,0(,202(:,2+2(20,∗:,∗+((,+2,∋((∗+,./∗0((,2,:Α2Α:(4?7
2、∋588≅∋Α(538?5Β5Β88Χ6Β∋3565>,∋Χ/:3∗Β(:,∗6,>(2Β(,05Δ∗6(Ε86∗5:∗:3,∋(Α∗052/+Φ5:3+2ΧΧ5,,5:>Β(,∋23++/(∋∗+,∋(65:(∗0∗:3:2:65:(∗0Χ5,,5:>+≅七∗6+25:Α(+,5>∗,(,∋(∗8865(∗,52:2Χ,∋(6(∗+,+./∗0(Β(,∋235:,∋(Χ5(632Χ8∋=+5(+,(∋(Β5+,0=∗:3Γ!2:Η03+∃6(∗+,+./∗0(Β(,23∃(/0Α(,,5:>∃Β20?53Δ2:,0∗35(
3、,20=(./∗,52:+∃:20Β∗6(./∗,52:+卿≅2∋Χ5∀引官作的曲线完全通过所有的数据点,只要求所得的曲线能反。最小二乘法是,,映数据的基本趋势一个比较古老的方法早在十八世纪∃,就由Ι/∗++首先创立并成功地应用于天文观测和大地测量工曲线拟合的几何解释求一条曲线使数据点均在离作中。此后近三百年来,它己广泛应用于科学实验与工程此曲线的上方或下方不远处。,技术中随着现代电子计算机的普及与发展这个占老的曲线拟合方法更加显示出其强大的生命力。∀一元线性拟合小二法设变量=与Ε成线性关系、二马,十∗6Ε。现在Β己
4、知个实验,二,,。,。∀最小二乘法原理戈、ϑΒ#∗“点5∀,,求两个未知参数二、山,,,最小二乘法是为了解决如何从一组测量值中寻求可信·ϑ一一∗6二“〔法一〕令菩认气∗6Ε#则氏应满足孟。∃赖值的问题最小二乘法基本原理是成对等精度地测得,。7ϑ!6,,,,,Ε只ϑ⋯:#一组数据56,试找出一条最佳的拟合曲线使得这条拟合曲线上的各点的值与测量值的差的平方和在∗一击山ϑ一一口。一∗Ε二!一飒艺心#所有拟合曲线中最小。,,ϑ一一口一“Ε一。,,,=ΕΕΚ⋯Ε6∃艺仓笼设物理量与∀个变量间的依赖关系式为,,,,,,。少
5、ϑΕΕ∃⋯∗。∗⋯#,Ε6%∗,化简得∃一一,,,,,心月‘〕∗。∗,⋯∗:艺口·兄其中是Λ6个待定参数记Ε5ϑ,,,。,,、。告客夕是测量值Α∗∗<⋯∗六客其中是由己求得的以及实验点∗,Ε十∗<一Ε,,,,,⋯戈,%Αϑ6Β艺艺对艺怀浅#6,#得出的函数值夕ϑ∀改<,<,,,。,,,。。=ϑΜ戈戈⋯气,%口∗二∗#从中解出,,,在设计实验时为了减小误差常进行多点测量使ΒΕ=,一Ε从艺艺艺,方程式个数大于待定参数的个数此时构成的方程组称为∗6二Ν二匕匕Ν一兰卫。∀#矛盾方程组通过最小二乘法转化后的方程组
6、称为正规方ΒΕ尸一戈艺Ο艺程组此时方程式的个数与待定参数的个数相等#。我们∗6矛咨∗,“⋯,∗。。/。ϑ一可以通过正规方程组求出了乙片一乙戈爪面Β丁妥了,“”即不要求所最小二乘法又称曲线拟合所谓拟合Ε,,=,,二,Β夕ϑ∗。十口Ε〔法二〕将5ϑ6,#代入得矛盾力∃Π一∀∀一!∃Π一∀一收摘日期!修回日期!!Θ‘∃作翻幼介∃陆健男,连云港市委党校研究生教育办公室,助教专业方向∃数学教育。囊’各钾∃共∃中,郁科技!!Π·,程组Σ多项式拟合=6“几Λ“,Ε,,,科学实验后得到一组数据Ε,助时常会遇到因变,<·
7、·‘,=与自变量Ε之间根本不存在线性关系。此时可以考虑用一全二介二,ΡΡ个:次多=Ε。Ο项式来拟合与之间的函数关系,八ϑ∗!Λ∗6凡ϑ∗,Ε‘对:,艺,Ε,ϑ到6ϑ!,6,,:#,于次多项式令则可将令Ε6,·∃ΡΡ#Ο#其化为线性形式’一(&∃,”’·&∃(啤∋,甲%()比心!尸间】犷Ο】5’<Τ对岁仁∗∃比件嚼妇俐艺&、于鸿叼内艺∀,##%#石%艺气,Β众叶万Ω,二、6Ε一Υς人Υ个实验点有、可代入Σ#式有ϑ、则幻式可写成全“ϑ‘Φϑ6,吞一”、咨‘ϑ〔∃#勺6∗二、片则有‘’”ϑ‘了‘从而得出多项式最小二
8、乘法拟合的方程亥#,∀鱿+∀,((,,〔非丹工对,()ϑ了∀,了。所以。,#,写成矩阵形式即为〔亥#1,#。。,,其中−称为结构矩阵.称为数据矩阵矛刀称为信息叠234(引5叠川,−/.(⋯二。78矩阵称为常数矩阵0∀十1%2梦丫丫到6训尸6为了定量地给出气与实验
