圆锥恒过定点问题.(教师)

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1、例1.如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（II）设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵

2、AB

3、＋

4、AF2

5、＋

6、BF2

7、＝8，∴

8、AF1

9、＋

10、F1B

11、＋

12、AF2

13、＋

14、BF2

15、＝8。又∵

16、AF1

17、＋

18、AF2

19、＝

20、BF1

21、＋

22、BF2

23、＝2a，∴

24、4a＝8，a＝2。又∵e＝，即＝，∴以c＝1。∴b＝＝。∴椭圆E的方程是＋＝1。（II）由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0。∵动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，∴m≠0且Δ＝0，∴64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0①，此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝。∴P。由得Q(4,4k＋m)。假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x1,0)，则·＝0对满足①式的m、k恒成立。∵＝，＝(4－x1,4k＋m)，∴由·＝0，得－＋－

25、4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0②。∵②式对满足①式的m，k恒成立，∴，解得x1＝1。∴存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。11例2.如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．（I）求抛物线E的方程；（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．【答案】解：（I）依题意，

26、OB

27、＝8，∠BOy＝30°。设B(x，y)，则x＝

28、OB

29、sin30°＝4，y＝

30、OB

31、cos30°

32、＝12。因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2。故抛物线E的方程为x2＝4y。（II）由（I）知y＝x2，y′＝x。设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x。由得。所以Q。假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立。由＝(x0，y0－y1)，＝，由于·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0(*)。由于(*)式对满

33、足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以，解得y1＝1。故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。3.已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．（Ⅰ）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；（Ⅱ）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，满足，是否存在实数m，使得原点O到直线的距离不大于，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．.专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．11分析：（Ⅰ）联立x+

34、y=m与y2=2px，证明△＞0，即可得到直线l与抛物线C恒有两个不同交点；（Ⅱ）根据，结合韦达定理，求出p的表达式，利用原点O到直线l的距离不大于，确定m的范围，由此可得正实数p的取值范围．解答：（Ⅰ）证明：由题知，联立x+y=m与y2=2px，消去x可得y2+2py﹣2pm=0…（*）∵p＞0且，∴△=4p2+8pm＞0，所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点；…4分（Ⅱ）解：设Q（x1，y1），R（x2，y2），由（*）可得y1+y2=﹣2p，y1•y2=﹣2pm故=2y1y2+（1﹣m）（y1+y2）+（m﹣1）2=m

35、2﹣（2+2p）m+1﹣2p=0∴又由原点O到直线l的距离不大于，则有，由（Ⅰ）有，即，结合，化简该不等式得：5m2+2m+1＞0，恒成立，∴，令t=m+1，则而函数在上单调递减，∴∴存在m且，实数p的取值范围为．…10分．4.已知椭圆与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为，该椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆交于M，N两个不同的点，且对外任意一点Q，有成立？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）由题意得，直线的方程为……………（1分）11由及，得……………

36、…………………（3分）所以椭圆的方程为……………………………………………………………（4分）（Ⅱ），．①………………………………………（6分）当直线的斜率不存在时，，，易知符合条件，此时直线的方程为…………………………………………………………………………………………（8分）当直线的斜率存在