圆和方程预习提纲

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1、圆与方程教案例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。解：根据已知条件，圆心C（a，b）是P1P2的中点，那么它的坐标为：a＝＝5，b＝＝6再根据两点的距离公式，得圆的半径是：r＝︱CP1︱＝＝∴所求圆的方程是：（x－5）2+（y－6）2＝10∵︱CM︱＝，︱CN︱＝＞，︱CQ︱＝3＜∴点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外.例2：圆x2+y2＝4与圆（x－3）2+（y－4）2＝16的位置

2、关系。解：∵圆心距＝5＜r1＋r2＝6∴两圆相交例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径.例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2＝r2则：（3－a）2+（1－b）2＝r2，（－

3、1－a）2+（3－b）2＝r2，3a－b－2＝0解法二：线段AB的中点坐标是（1，2）则kAB＝＝－所以，线段AB的垂直平分线方程为：y－2＝2（x－1）即：2x－y＝0由得圆心坐标为C（2，4），又r＝︱AC︱＝∴圆的方程是：（x－2）2+（y－4）2＝10例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。解：设圆心坐标为C（x0，y0），则解得：x0＝2，y0＝4或x0＝18，y0＝16-6-∴所求圆的方程是：（x－2）2+（y－4）2＝100或（x－18）2+（y

4、－16）2＝100例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程.解：设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k=－.经过点M的切线方程是：整理得：因为点M（x0，,y0）在圆上，所以所求切线方程为：当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.例7：求过点A（2，4）向圆x2+y2＝4所引的切线方程。解法一：设切线方程为y－4＝k(x－2)即kx－y＋4－2k＝0由得：（k2＋1）x2＋4k（2－k）x＋4k2－16k＋12＝0由△＝

5、0得：k＝又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切∴所求切线方程为：x＝2或3x－4y＋10＝0解法二：设切线方程为kx－y＋4－2k＝0则：＝2得：k＝又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切∴所求切线方程为：x＝2或3x－4y＋10＝0解法三：设切点为（x0，y0），则：x0x＋y0y＝4∴2x0＋4y0＝4又：x02+y02＝4∴x0＝2，y0＝0或x0＝－，y0＝得切线方程：x＝2或3x－4y＋10＝0例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的

6、乘积bb-6-′＝4，求两直线交点的轨迹。解：设M（x，y）为两直线l1、l2的交点则有l1：＋=1，l2：＋=1得：b＝，b′＝∴bb′＝·＝4x2+y2＝4（y≠0）例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y=0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。解：设圆心C（3a，a）∵圆与y轴相切∴r＝3︱a︱又：︱CD︱＝＝︱a︱︱BD︱＝︱AB︱＝由勾股定理得：a＝±1∴所求圆的方程为：（x＋3）2+（y＋1）2＝9或（x－3）2+（y－1）2＝9例10：求过三点O（0，0）、M1

7、（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的方程为用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得解得于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）说明：如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，如果已知条件和圆心坐标或半径都无关，一般采用

8、圆的一般方程。例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.-6-由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为，①将①式两边平方，得化简得x2+y2+2x－3=0②化为标准形式得：（x+1）2+y2=4所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆。说明：到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。例12：已知曲线C：（1＋a）x2＋（1