专题八 数列的题型与方法(文科)

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1、专题八数列的题型与方法（文科）一、考点回顾1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式，等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质。2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：①若，则为等差数列；②若，则为等比数列；③中项公式法：验证都成立。3．在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。4．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、

2、累加累积法、归纳猜想证明法等。5．数列的综合应用：⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。6．注意事项：⑴证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。⑷注意一些特殊数列的求和方法。23⑸注意与之间关系的转化。如：=，=．⑹数列的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速

3、打通解题思路．⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．７．知识网络23二、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1.（山东省滨州市2007年高三第三次复习质量检测）已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列解析：（I）依题意（II）点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。例题2.（200

4、7年湖南省长郡中学第二次月考）设数列的前n项和为Sn，若是首项为1，各项均为正数且公比为q的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）试比较的大小，并证明你的结论.23解析：（Ⅰ）∵是各项均为正数的等比数列.∴.当n=1时，a1=1，当∴。（Ⅱ）当n=1时，∴∴当∵①当q=1时，②当③当综上可知：当n=1时，当若若点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和例题3.（2007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为：个个12、1122、111222、……、……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.解析：先要通过观察，

5、找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1）23个记：A=,则A=为整数=A(A+1)，得证(2)点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例题4.(云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测)已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（II）设的前n项和，求.解析：（I）两式相减：是以2为公比的等比数列，（II）23而点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问求和用到裂项的办法求和。考点三：数列与不等式

6、的联系例题5.（2007年5月莆田四中）已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解：⑴又∵为锐角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴23∵,,又∵∴∴∴点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。例题6.（东城区2007年检测）已知数列满足且（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）求；（Ⅲ）若，试比较的大小，并说明理由.解析：（I）当时上式也成立，23（Ⅱ）①②①—②，得（Ⅲ）

7、由（Ⅱ）可得又当当当综上所述，当点评：比较大小的常见的办法是做差，但关键在于和零比较，要注意在不同的条件下有不同的结果，也就是要根据分类讨论。例题7.（2007年5月2007浙江省五校）已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:23（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明