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1、实验报告实验项目名称插值法实 验 室 数学实验室 所属课程名称数值逼近实验类型算法设计实验日期2013年9月27日班级学号姓名成绩实验概述：【实验目的及要求】本次实验的目的是熟练《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，掌握三种插值方法：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值，并比较三种插值方法的优劣。本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。【实验原理】《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。【实验环境】（使用的软硬件）软件：MATLAB2012a硬件：
2、电脑型号：联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑操作系统：Windows8专业版处理器：Intel（R）Core（TM）i3CPUM350@2.27GHz2.27GHz实验内容：【实验方案设计】第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。实验一：已知函数在下列各点的值为xi0.20.40.6.0.81.0f（xi）0.980.9
3、20.810.640.38试用4次牛顿插值多项式P4（x）及三次样条函数S（x）（自然边界条件）对数据进行插值。用图给出{（xi，yi），xi=0.2+0.08i，i=0，1,11,10}，P4（x）及S（x）。(1)首先我们先求牛顿插值多项式，此处要用4次牛顿插值多项式处理数据。已知n次牛顿插值多项式如下：Pn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+···+f[x0,x1，···xn](x-x0)···(x-xn-1)我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。在MATLAB的Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多
4、项式系数的程序如下：functionvarargout=newtonliu(varargin)clear,clcx=[0.20.40.60.81.0];fx=[0.980.920.810.640.38];newtonchzh(x,fx);functionnewtonchzh(x,fx)%由此函数可得差分表n=length(x);fprintf('*****************差分表*****************************');FF=ones(n,n);FF(:,1)=fx';fori=2:nforj=i:nFF(j,i)=(FF(j,i-1)-FF(j-1,
5、i-1))/(x(j)-x(j-i+1));endendfori=1:nfprintf('%4.2f',x(i));forj=1:ifprintf('%10.5f',FF(i,j));endfprintf('');end由MATLAB计算得：xif(xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.200.9800.400.920-0.300000.600.810-0.55000-0.625000.800.640-0.85000-0.75000-0.208331.000.380-1.30000-1.12500-0.62500-0.52083所以有四次插值牛顿多项式为：P4（x）=0.98
6、-0.3(x-0.2)-0.62500(x-0.2)(x-0.4)-0.20833(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)-0.52083(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)(x-0.8）(2)接下来我们求三次样条插值函数。用三次样条插值函数由上题分析知,要求各点的M值：三次样条插值函数计算的程序如下：functiontgsanci(n,s,t)%n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。x=[0.20.40.60.81.0];y=[0.980.920.810.640.38];n=5forj=1:1:n-1h(j)=x(j+1)-x(j);endforj=2:1:n-1r(j)=
7、h(j)/(h(j)+h(j-1));endforj=1:1:n-1u(j)=1-r(j);endforj=1:1:n-1f(j)=(y(j+1)-y(j))/h(j);endforj=2:1:n-1d(j)=6*(f(j)-f(j-1))/(h(j-1)+h(j));endd(1)=0d(n)=0a=zeros(n,n);forj=1:1:na(j,j)=2;endr(1)=0;u(n)=0;forj=1:1:n-1a(j+1,j)=u(j+1);a(j
