数值分析习题集和答案解析

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1、第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=lnx的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足,而,故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.下列公式如何才比较准确?(1)(2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。(1)(2)4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。5.

2、计算取,利用:式计算误差最小。四个选项:第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值误差限,因,故二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值误差限,故2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?解:用误差估计式(5.8),令因得3.若,求和.解:由均差与导数关系于是4.

3、若互异,求的值,这里p≤n+1.解:,由均差对称性可知当有而当P=n+1时于是得5.求证.解:解:只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解:根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算

4、cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解:先构造差分表计算,用n=4得Newton前插公式误差估计由公式(5.17)得其中计算时用Newton后插公式(5.18)误差估计由公式(5.19)得这里仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处可先造使它满足,显然,再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A=,于是9.令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证明是[-1,1]上带权的正交多项式序列。解:因10.用最小二乘法求一个形如的经验公式

5、,使它拟合下列数据,并计算均方误差.解:本题给出拟合曲线,即,故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11.填空题  (1)满足条件的插值多项式p(x)=(  ).  (2),则f[1,2,3,4]=(  ),f[1,2,3,4,5]=(  ).  (3)设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则=(  ),=(  ).  (4)设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=(  ),=(  )答:(1)(2)(3)(4)第4章 数值积分与数值微分习题41.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分. 

6、    解  本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合Simpson公式(6.13)直接计算即可。对,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式(6.11)求出,按式(6.13)求得,积分2.用Simpson公式求积分,并估计误差解:直接用Simpson公式(6.7)得由(6.8)式估计误差,因,故3.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.  (1)  (2)  (3)解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数。(1)令代入公式两端并使其相等,得解此方程组得,于是有再令,得故求积公式具有

7、3次代数精确度。(2)令代入公式两端使其相等,得解出得而对不准确成立,故求积公式具有3次代数精确度。(3)令代入公式精确成立,得解得,得求积公式对故求积公式具有2次代数精确度。4.计算积分,若用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间应分为多少等分?解:由Simpson公式余项及得即,取n=6,即区间分为12等分可使误差不超过对梯形公式同样,由余项公式得即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5.用Romberg求积算法求积分,取解:本题只要对积分使用Romberg算法(6.20),计算到K=3,结果

8、如下表所示。于是积分,积分准确值为0.

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