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1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学关于极限运算的探索21目录1、极限的发展历史22、求解极限的方法32.1极限的定义、性质和存在的条件32.1.1函数极限的定义32.1.2函数极限的性质42.1.3函数极限的存在条件42.2几种常用的求解极限的方法52.2.1利用定理和准则52.2.2利用两个重要极限62.2.3利用极限运算法则72.2.4利用初等函数的连续性92.2.5利用洛必达法则102.2.6利用泰勒公式122.2.7利用定积分求和式极限132.2.8利用级数收敛的必要条件132.2.9利用等价无穷小代换,求函数的极限1
2、42.2.10利用有界变量与无穷小量之积仍为无穷小,求函数的极限142.2.11利用无穷小量与无穷大量的倒数关系,求函数的极限142.2.12利用函数在点极限存在的充要条件,求函数的极限153、求解极限方法的应用153.1无穷小运算定理,无穷小因子代换定理153.2利用洛必达法则163.3利用夹逼定理163.4总结164、极限运算中值得注意的几个问题174.1忽视等价无穷小替换的条件174.2忽视洛必达定理的条件174.3忽视极限运算法则适用条件194.4忽视变量的变化过程205、总结206、致谢207主要参考资料：2121关于极限
3、运算的探索摘要：本文主要从极限的发展历史、极限的求解方法、极限的应用、极限求解中的几个问题展开论述，探求极限运算规律.关键词：极限1、极限的发展历史在中国古代数学史上,无限思想(极限的最初雏形)占有非常重要的地位.很多哲学思想无不渗透着极限的光辉思想.著名的庄子一书中有言:一尺之棰,日取其半,而万世不竭.从中就可体现出我国早期对数学中无穷的认识水平.而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中,且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽.他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的割圆术.公元前三世纪,数学之神希腊数学家阿基米德所运用的穷
4、竭法已备近代极限理论的雏形.毕达哥拉斯学派关于不可公度量的发现,以及在关于数与无限这两个概念的定义中就已经孕育了微积分学的关于无穷的思想方法.柏拉图和德谟克利特学派探索过无穷小量观念等等.第二次数学危机有力地推动了极限理论的发展,其源于微增量相关的一类计算.经过一个多世纪的漫漫征程,几代数学家,包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力,数量惊人前所未有的处女地被开垦出来,微积分理论获得了空前丰富.法国著名数学家柯西的研究使分析基础严密化的工作向前迈出了第一大步,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积
5、分、无穷级数的和等概念建立在了较坚实的基础上.不过,在当时情况下,由于实数的严格理论未建立起来,所以柯西的极限理论还不可能完善.柯西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系.由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作.数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学建在了牢固可靠的基础之上.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终.可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限.在几乎所有的数
6、学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处.数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题),正是由于它采用了极限的思想方法.极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,21是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.极限理论在现代数
7、学乃至物理等学科中有广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的.借助极限法,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识准确.无限与有限有本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展.无限个数目的和不是一般的代数和,把它定义为部分和的极限,就是借助极限法,从有限认识无限.变与不变反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态,但它们在一定条件下又可相互转化,这种转化是数学科学的有力杠杆之一.例如,求变速直线运动的瞬时速度,这时速度是变量,为此人们先在小范围内用匀速代替变速,并求其平均速度,把瞬时
8、速度定义为平均速度的极限,就是借助极限法,从不变认识变.曲线形与直线形有本质的差异,但在一定条件下也可相互转化,善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一.直线形的面积容易求得,要求曲线形的面积,只用初等的方法就不行了.刘徽
