2020年中考数学考点总动员第24讲 尺规作图含答案

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1、第24讲　尺规作图1．尺规作图的作图工具圆规和没有刻度的直尺2．基本尺规作图类型一：作一条线段等于已知线段步骤：①作射线OP；②以O为圆心，a为半径作弧，交OP于A，OA即为所求线段．图示：类型三：作线段的垂直平分线步骤：①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N点；②连接MN，直线MN即为所求垂直平分线．图示：类型四：作一个角等于已知角：步骤：①以O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；②作射线O′A；③以O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M；④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；⑤过点N作射线O′B，∠AO′

2、B即为所求角．图示：类型五：过一点作已知直线的垂线步骤：点在直线上：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M，N；③连接MN，MN即为所求垂线．点在直线外：①在直线另一侧取点M；②以PM为半径画弧，交直线于A，B两点；③分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，交M同侧于点N；④连接PN，则直线PN即为所求的垂线．图示：3．常见几种基本尺规作图作三角形①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形；③已知两角及其夹边作三角形；④已知底边及底边上的高作等腰三角形；⑤已知一直角边和斜边作直角三角

3、形．4．作图的一般步骤(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论．步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.考点1：简单尺规作图【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形．已知：如图，∠α，线段a.求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a.【解析】：作图如图，(1)作∠EAF＝∠α；(2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a；(3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B，C.则△ABC即为所求作的等腰三角形　归纳：1．熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹．2．平

4、时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程．3．会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化．4．提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性．考点2：复杂尺规作图【例题2】如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°.(1)请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，与AC的切点为Q；(尺规作图，保留作图痕迹)(2)连接BQ，若AB＝3，(1)中所作圆的半径为，求sin∠CBQ.【分析】　(1)要求作⊙P与AB、AC相切，根据切线的性质，即点P到AB、AC的距离相等，且点P在边BC上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作∠BAC的平分线交BC于P点，以点

5、P为圆心，PB为半径作圆即可；(2)由切线长定理得AB＝AQ，又PB＝PQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，利用等角的余角相等得到∠CBQ＝∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦函数求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值．解：(1)如图所示，⊙P即为所求：(2)∵AB、AQ为⊙P的切线，∴AB＝AQ，∵PB＝PQ，∴AP为BQ的垂直平分线，∴∠BAP＋∠ABQ＝90°，∵∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∴∠CBQ＝∠BAP，在Rt△ABP中，AP＝＝＝，∴sin∠BAP＝＝＝，∴sin∠CBQ＝考点3：关于尺规作图的应用【例题3】（2019▪广西池河▪8分）如图，AB为⊙

6、O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．【解答】解：（1）如图所示；（2）OE∥AC，OE＝AC．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵∠BAD＝∠BOD，∴

7、∠BOD＝∠BAC，∴OE∥AC，∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE＝AC．一、选择题：1.（2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（　　）【答案】B【解答】已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，（4）作直线CF．直线CF就是所求的垂线．