高等代数试题库1

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1、高等代数试题库一、填空题：1、在C[-1,1]中，定义=∫−11f(x)g(x)dx,则向量1的长度为_____，1与x的夹角为_________。2、二次型f(x1,x2)=x12+4x1x2+3x22的矩阵是___________。3、R3的子空间W={（a,2a,3a）

2、a∈R}则dimW=_______。4、设n阶矩阵A的特征根为λ1，λ2，⋯λn，则detA=___,Tr(A)=____。5、线性变换σ的属于本征值λ的特征子空间Vλ=____________。6、设α1，α2，⋯αn是欧氏空间V的一个规范

3、正交基，V中向量α在基α1，α2，⋯αn下的坐标可由内积表示为________。7、R2的线性变换σ在基α1，α2下的矩阵为A=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛3412，则σ在基α1+α2，2α2下的矩阵为___________。8、实二次型f的典范形式由________和___________唯一确定。9、实对称矩阵A正定当且仅当A与__________合同。10、Rn空间中，向量α与任意向量β的内积都等于零的充要条件是_________。11、数域F上任意一个n维向量空间都与同构。12、α线性相关的充要条件是。13、α、β线性相关的充要条件是。14

4、、二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321123xxxxxxA,则A=___________。15、设α1是线性方程组AX=B的一个解，α2是线性方程组AX=0的一个解，则α1-α2是_______的一个解。16、设n阶可逆矩阵A的特征根为λ1，λ2，⋯，λn，则A-1的特征根为____________。17、设W1、W2是V的两个子空间，则W1与W2的和W1+W2=。18、二次型f(x1,x2)=()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛21123412xxxx的矩阵为_________。

5、19、对任意向量空间V，V的平凡子空间是和。20、线性变换把线性相关向量变成。21、方程2x4−x3+2x−3=0的有理根为。22、含有n个未知量n个方程的线性方程组，当其系数行列式D≠0时，该方程组有解。23、两矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。24、设矩阵Ａ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛003022111，Ａ的转置矩阵为ＡT，则ＡTＡ＝。25、n阶可逆矩阵必等价于。26、若４阶矩阵Ａ的秩为２，则Ａ的所有阶子式都等于零。27、零多项式是。28、若p(x)是不可约多项式，而f(x)是一个任意多项式，则当(p(x),f(x))≠1时，有。29、

6、两本原多项式的乘积是多项式。30、τ(n(n−1)⋅⋅⋅321)＝。31、设Ａ为n阶方阵，则−A＝。32、设三阶方阵Ａ，Ｂ满足Ａ−1ＢＡ＝６Ａ＋ＢＡ且Ａ＝⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛700104010031则Ｂ＝。33、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素，则行列式值为。34、设一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A和B，则有解的充要条件为35、在实数域上，任意次数≥多项式都可约。36、含有n个未知量n个方程的线性方程组，当其系数行列式D≠0时，其方程组有且仅有解。37、任n个矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。38、有理数域

7、多项式存在不可约多项式。39、n阶可逆矩阵必等价于。40、零多项式是。41、若４阶矩阵Ａ的秩为3，则Ａ的所有阶子式都等于零。42、若p(x)是不可约多项式，而f(x)是一个任意多项式，则当p(x)不能整除f(x)时，有。43、两本原多项式的乘积是多项式。44、设Ａ为4阶方阵，则3A＝。45、τ(n(n−1)⋅⋅⋅321)＝。46、设三阶方阵Ａ，Ｂ满足Ａ−1ＢＡ＝６Ａ＋ＢＡ且Ａ＝⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛700104010031则Ｂ＝。47、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r，则其增广矩阵的秩为和。48、矩阵1112⎛⎞⎜⎟⎝⎠的逆

8、矩阵是_______________.49、设A为m×n矩阵，B是一个矩阵，且BA有意义，则B的列数等于___________.50、设向量组12,,,rαα?α与12,,,sββ?β等价，它们的秩分别为p,q，则p与q的关系是_______.51、设n级矩阵A的特征值为12,,,nλλ?λ，则A=___________,Tr(A)=_____________.52、二次型()11212222(,)21xfxxxxx⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝−⎠⎝⎠的矩阵为______.53、设12,,,mαα?α为n维向量，已知12,,,mαα?α线性无关

9、，则m和n的关系是__________.54、n维欧氏空间V中向量ξ在标准正交基{}12,,,nαα?α下的坐标是()12,,,nxx?x，那么(,)_________,__________iξα=ξ=.5