非初等原函数的几种类型【文献综述】

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1、毕业论文文献综述数学与应用数学非初等原函数的几种类型在高等数学中,初等函数是主要的研究对象。众所周知,初等函数在其定义区间上是连续的,而连续函数的概念在微积分、常微分方程、复变函数等教材中出现的频率最多，但是在不定积分中，一些看起来很简单的不定积分试用牛顿-莱布尼兹公式却不能求出其结果，很令人费解。事实上，这就是关于不定积分非初等性的问题。我们知道，初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这些基本初等函数进行有限次四则运算与复合运算所产生的函数。初等函数在其定义区间是连续的，而任何连续函数的不定积分都是存在的，由于不定积分就是

2、求函数的原函数，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原函数。所谓不定积分的非初等性，实际上就是初等函数的原函数不是初等函数。在数学分析教材中，都只是结论性的给出几个不定积分不能用初等函数表示的例子，既不证明，也没有更多的说明。这难免不使学生感到疑惑和不踏实，也容易使学生误以为不能用初等函数表示的不定积分很少，同时也可能会使学生在遇到原函数不是初等函数的问题时，为试图寻求原函数求解而煞费苦心，浪费时间。可见，给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否是初等函数的法则以及如何避开牛顿-莱布尼兹公式计算非初等函数的不定积分是很有必要的。本文将在这些方面做一些

3、探讨。研究不定积分非初等性问题的理论依据在文献[1-8]中给出，其基础是刘维尔（J.Liouville）定理。文献[1]给出了原函数不是初等函数的判断定理：设、及的反函数都是初等函数，则是非初等函数当且仅当也是非初等函数。文献[2-3]给出了刘维尔（J.Liouville）定理的特殊情况，即设是有理函数，是多项式函数，若不定积分是初等的，则它的形式为，其中也是有理函数。以及定理的等价叙述，即设是有理函数，是多项式函数，则不定积分是初等的充要条件为存在互质多项式、，等式成立。并利用上述定理得到一结论，即设、都是实值函数，，则不定积分是初等的充要条件为它的实部

4、积分与虚部积分都是初等的。文献[4-5]给出了刘维尔（J.Liouville）第三定理、第四定理、切彼晓夫定理以及推论。刘维尔第三定理：设，为的代数函数，且不为常数。若是初等函数，则，其中和分别是有理数和常数。刘维尔第四定理：设为的代数函数，且。若函数的不定积分是初等函数，则也是初等函数。刘维尔第四定理的推论：设为的代数函数，且。若中有一项是积不出函数，则也是积不出函数。切彼晓夫定理：不定积分（其中是有理数）是初等函数的充要条件是三个数中至少有一个是整数。通过这些定理，文献中已经得到，，的非初等性，以及，，，，，，非初等性的判别法则。但是对于为数甚多的原函

5、数非初等的不定积分来说，这些例子还不足以满足学生对非初等原函数的探究欲望，所以还是有必要寻找更多原函数非初等的不定积分的例子，如是非初等的，非初等性的判别法则等。另一方面，当遇到原函数是非初等的定积分时，试图通过经典的牛顿-莱布尼兹公式求其原函数是求不出来的。因此，有必要寻找一种新的方法来解决这一类函数的原函数的求法。文献[1]指出可以利用复级数求定积分。【参考文献】[1]杨玉文.“积不出来”函数的判定和积分[J].赤峰学院报，2006，22（3）：3-12.[2]王建华.周丽萍.某些不定积分的非初等性问题[J].呼伦贝尔学院报，2005，13（2）：71

6、-73.[3]张建新.不定积分的非初等性[J].沙洲职业工学院学报，2001，4（2）：35-38.[4]周民强.数学分析（第一册）[M].上海科学技术出版社，2002.[5]张春苟.不定积分中“积不出”问题[J].数学的实践与认识，2009，39（7）：212-224.[6]B.П.吉米多维奇著，李荣冻译.数学分析习题集[M].人民教育出版社，1958.[7]陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].文小西.第二版。北京：高等教育出版社，2004.[8]王文.非初等函数的判别法[J].大学数学，2008，24（3）：165-168.[9]OLIVIERESP

7、INOSA,VICTORH.MOLL.OnSomeIntegralsInvolvingtheHurwitzZetaFunction:Part2[J].THERAMANUJANJOURNAL,6,449–468,2002KluwerAcademicPublishers.ManufacturedinTheNetherlands.[10]M.V.LomonosovMoscowStateUniversity.TranslatedfromMatematicheskieZametki,Vol.9,No.3,pp.311-321,March,1971.Originala

8、rticlesubmittedDecember16,1969.