非初等原函数的几种类型【优秀毕业设计】

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1、本科毕业设计（20届）非初等原函数的几种类型摘　要【摘要】学过数学分析和高等数学的人都知道，在学到不定积分内容时，老师通常会结论性地告诉学生某些不定23积分是不能用初等函数来表达的。其原因是刘维尔定理过于复杂，难以为一般教科书所采纳。本文利用刘维尔定理的特殊情况给出了如何证明某些不定积分的非初等性及运用变量代换和分部积分的方法得出一些判断法则。此外，还举出一些例题加深理解。【关键词】非初等原函数；变量代换；分部积分；不定积分Abstract【ABSTRACT】Thepersonwholearnedmathsanalysisandthehighermathematicsallk

2、nowthattheteacherusuallyconclusivetellingstudentssomeuncertainIntegralwhichcannotbeusedtheelementaryfunctiontoexpresswhenteachingindefiniteintegralincontents,ThereasonisthatLiuWeiErtheoremistoocomplextoadoptedbyforgeneraltextbooks.ThispaperusingthespecialcaseofLiuWeiErtheoremprovessomeeleme

3、ntarypropertiesofindefiniteintegralandSomejudgerulesbyuseingvariablesubstitutionandtheinisialmethod.Inaddition,Istillgivesomeexamplestoenhanceunderstanding.【KEYWORDS】Thenon-elementaryantiderivatives;Substitution;Integrationbyparts;Indefiniteintegral23目　录摘　要IIAbstractIII目　录IV1刘维尔（J.Liouville

4、）定理和切彼晓夫定理11.1非初等函数的判定定理11.2刘维尔（J.Liouville）定理11.2.1刘维尔第三定理11.2.2刘维尔第四定理21.3切彼晓夫定理22非初等原函数的判断法则32.1类型的不定积分的判断法则32.1.1当时，不定积分是非初等积分32.1.2当时，不定积分是非初等积分42.1.3当时，不定积分是非初等积分42.1.4当时，不定积分是非初等积分52.1.5对任何非零多项式，不定积分是非初等积分62.1.6对任何非零多项式，不定积分是非初等积分72.1.7对任何非零多项式，不定积分是非初等积分82.2类型的不定积分的判别法则82.2.1、、的非初等性

5、82.2.2不定积分的非初等性112.2.3不定积分的非初等性112.2.4当时，不定积分23、为非初等积分122.2.5当时，不定积分、为非初等积分132.2.6不定积分的非初等性133非初等原函数的例题153.1例1证明不定积分的非初等性153.1.1证明的非初等性153.1.2证明不定积分的非初等性163.2例2证明的非初等性163.3例3证明的非初等性163.3.1证明不定积分的非初等性173.3.2令173.4例4证明不定积分与的非初等性183.4.1对3.4的结论利用分部积分又能导出以下非初等性积分183.5例5证明不定积分和的非初等性183.5.1证明的非初等性

6、193.5.2证明的非初等性193.6例6证明的非初等性20参考文献21致谢22附录23231刘维尔（J.Liouville）定理和切彼晓夫定理引言不定积分初等是指的原函数是初等函数；而不定积分的非初等性是指的原函数不是初等函数，也就是说这些函数的不定积分“积不出来”。时至今日，研究原函数非初等性问题的理论基础是刘维尔(J.Liouville)定理和切彼晓夫定理。1.1非初等函数的判定定理定理1设、及的反函数都是初等函数，则是非初等函数当且仅当也是非初等函数。证明：设如果是非初等函数，则是非初等函数。又因为如果是初等函数，则也是初等函数，且也是初等函数，所以是初等函数，这与假

7、设是非初等函数矛盾。故如果是非初等函数，则也是非初等函数。同理可证，如果是非初等函数，则也是非初等函数。证毕。1.2刘维尔（J.Liouville）定理刘维尔(J.Liouville)定理总共有四个分定理，刘维尔第三定理和刘维尔第四定理与原函数非初等性问题有密切关系，因此，本文只叙述刘维尔第三定理和刘维尔第四定理。1.2.1刘维尔第三定理设为的代数函数，且不为常数，若是初等函数，则，其中和分别是有理函数和常数。特别地，有：定理：设是有理函数，是多项式函数，若不定积分是初等的，23则一定存在某有理函数，使