2013年高考理科数学试卷与答案(湖南卷)(Word版)

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1、.....2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i·（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法3.在锐角中，角A

2、，B所对的边长分别为a，b。若，则角A等于()A.　B.　C.　D.4.若变量x，y满足约束条件　则的最大值是()A.　　　　B.０　　　　　C.　　　　　　　D.5.函数的图象与函数的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.06.已知a，b是单位同量，a·b=0。若向量c满足，则的取值范围是()A.[,]B.[,]C.[1,]D.[1,]7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.C.D.8.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是

3、边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1）。若光线QR经过的重心，则AP等于()A.2B.1C.D.学习参考.....二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分。（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为.10.已知R，a+2b+3c=6，则的最小值为.11.如图2，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，

4、PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为.(二)必做题（12～16题）12.若，则常数T的值为.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为.14.设，是双曲线C：（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点。若，且的最小内角为30°，则C的离心率为.15.设为数列的前n项和，，，则（1）=；（2）=。16.设函数，其中c>a>0，c>b>0。（1）记集合M={（）

5、不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（）M所对应的f（x）的零点的取值集合为；（2）若是的三条

6、边长，则下列结论正确的是。（写出所有正确结论的序号）①，f（x）>0；学习参考.....②，使不能构成一个三角形的三条边长；③若为钝角三角形，则(1,2)，使f（x）=0。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知函数f（x）=sin（）+cos（），g（x）=2sin2。（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合。18.（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形

7、地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。19.（本小题满分12分）如图5，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，，∠BAD=90°，

8、，BC=1，AD=AA1=3。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M学习参考.....到N的一条“L路径”。如图6所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（-10，0），C（14，0）处，现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。（Ⅰ）写出点P到居民区A的“L路径”长度

9、最小值的表达式（不要求证明）；（Ⅱ）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区。请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小。21.（本小题满分13分）过抛物线E：（p>0）的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且。l1与E相交于点A，B；l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l。（Ⅰ）若k1>0，k2>0，证明：；（Ⅱ）若点M到