r-循环矩阵求逆的一种新算法【毕业设计】

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1、本科毕业设计（20届）r-循环矩阵求逆的一种新算法5摘　要【摘要】对于r一循环矩阵求逆的快速计算问题是人们十分关注的问题，在数理统计、通信、石油、地震物探以及其它应用学科，尤其是在编码、图象和数字信号处理中，常常会遇到各种形式的r一循环矩阵。其中不少问题牵涉到求逆的快速计算，这里我利用最大公因式法来求任意数域上非奇异r-循环矩阵求逆的新算法。【关键词】r-循环矩阵；逆矩阵；最大公因式5Abstract【ABSTRACT】Rofacycleforthefastcalculationofmatrixinv

2、erseproblemisofgreatconcerntopeopleinmathematicalstatistics,communications,petroleum,seismicdetection,andotherappliedsciences,especiallyinthecoding,imageanddigitalsignalprocessing,oftenencounterrformsacyclematrix.Manyproblemsinvolvetherapidcalculationof

3、theinverse【KEYWORDS】r-cyclicmatrix；inversematrix；highestcommonfactor5目　录摘　要IIAbstractIII目　录III1引言11.1r-循环矩阵基本知识11.2r-循环矩阵的一些基本性质11.3的多项式在r-循环矩阵中的运用22.1r-循环矩阵求逆一些相关性质42.2r-循环矩阵求逆新算法5致谢651引言r-循环矩阵是一种特殊的T-矩阵(位于任一条平行于主对角线的直线上的元素全相等),在数据处理,有限元法以及编码理论等广泛学科和技术

4、领域里常常遇到，T-矩阵的性质不易探讨.因此人们很早就把兴趣集中在与T-矩阵联系密切的矩阵或特殊的T-矩阵上.循环矩阵是T-矩阵的一个特殊情形.人们对r-循环矩阵的可逆问题已经进行了较广泛的研究.1.1r-循环矩阵基本知识定义1：若A具有形状A=则称A为r一循环矩阵，因为A决定于，及参数r，故可简记为()∈，特别当r=l时，就是通常的循环矩阵，当r=一1时，就是通常的反循环矩阵。定义2：D==(0，1，0，，0)易得为r-循环矩阵，且（E为n阶单位矩阵），因此A可以写成关于D的多项式：1.2r-循环矩

5、阵的一些基本性质性质1：两个循环矩阵,的和仍为r一循环矩阵，且证明：设，那么，则仍是D的多项式，所以，是r-循环矩阵。性质2：两个循环矩阵，的乘积仍为r-循环矩阵，且5证明：设，由于所以+所以则仍是D的多项式，因此是r-循环矩阵。性质3：可逆的r-循环矩阵的逆矩阵仍是r-循环矩阵证明：设A为可逆的r-循环矩阵：即证：存在，为待定常使得即可要使,必须且只须下列方程组成立：(1)即==由题设K可逆，则,故（1）有唯一解，则L唯一存在，且L就是A的逆矩阵，由于L是D的多项式，所以它是r-循环矩阵。1.1的多

6、项式在r-循环矩阵中的运用定理1：n阶矩阵A为r-循环矩阵A=，当且仅当该定理形象的刻画了r-循环矩阵的特点，可以这样证明：我们考虑几个最特殊的的r-循环矩阵：5易知即A=易验证故易证记显然线性无关，因此A的表达式唯一，即任何r-循环矩阵都可由的多项式唯一表达。定义2：A是n阶r-循环矩阵的充要条件是，其中=证明：必要性的证明可由r-循环矩阵A=得到。充分性设其中5而，则由及分块矩阵乘法得从而得=，，，令比较上式得按定义即知A是r-循环矩阵，证毕。1r-循环矩阵求逆的算法1.1r-循环矩阵求逆一些相关

7、性质引理1，的充分必要条件其中D=则A=f（D）称为循环矩阵A的伴随多项式。令g（x）=-r,则g（D）=0，即g（x）是D的最小零化多项式。引理2设A=A的n个特征值为，其中为方程的n个根，而定理1：设则A非奇异的充要条件证：必要性：以为A非奇异，则充分性：5又。所以定理2：设多项式矩阵经过初等变换化为，则1.1r-循环矩阵求逆新算法利用定理2求r-循环矩阵求逆的具体步骤为：1：由r-循环矩阵得到伴随多项式2：由3：判别A是否可逆，若d（x）不是非零常数，则A不可逆；若d（x）是非零常数时，则A可逆

8、4：当d（x）是非零常数时，利用初等变换得d（x）=1，此时v（x）的系数就是r-循环矩阵的逆的第一行元素。举例证明例：设A==，求解：A是一个3-循环矩阵，其伴随多项式，于是作矩阵，对该矩阵作初等变换：5所以即故参考文献[1]沈光星．关于某些循环矩阵的特征值[J]．应用数学，1991，4(3)：76-82．[2]郭运瑞，江兆林．r-循环矩阵逆矩阵的插值法证明[J]．广州师院学报，l997，(1)：22—27．[3]张小红，蔡秉衡，高等代数专题研究选编[