初一数学竞赛讲座(2)

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1、初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数 一、知识要点1、完全平方数及其性质定义1如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。性质2奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3偶完全平方数是4的倍数。性质4完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、 质数与合数定义2一个大于1的整数a,如果只有

2、1和a这两个约数，那么a叫做质数。定义3一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数外，还有其他正约数，那么a叫做合数。1既不是质数也不是合数。3、质数与合数的有关性质(1)  质数有无数多个(2)  2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。(1)   若质数p½a•b，则必有p½a或p½b。(2)  若正整数a、b的积是质数p，则必有a=p或b=p.(3)  唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：,其中p1

3、，ak是正整数。一、例题精讲例1有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，比个位数字少2，这个四位数是解设所求的四位数为m2，它的百位数字为a，则有m2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93)因为11是质数，所以11∣(101a+93)，而101a+93=11(9a+8)+(2a+5)，所以11∣(2a+5)，由题意a+3≤9，故a≤6，从而a=3于是所求的四位数为4356 例2一个四位数有这样的性

4、质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0，就只用个位数去除)，且这个平方数正好是前两位数加1的平方。例如48022=2401=492=(48+1)2，则具有上述性质的最小四位数是　（1994年四川省初中数学联合竞赛试题）解　设具有上述性质的四位数是100c1+c2，其中10≤c1，c2≤99，按题意，得　　100c1+c2＝，∴100c1=c1c2(c1+2)，即，因而(c1+2)½100，又10≤c1≤99，所以c1=18，23，48，98相应地c2=5，4，2，

5、1于是符合题意的四位数是1805，2304，4802，9801，其中最小的是1805评注：本题根据题意，列出不定方程，然后利用整数的整除性来求解。 例3三个质数a、b、c的乘积等于这三个质数和的5倍，则a2+b2+c2=(1996年“希望杯”初二试题)分析：由题意得出abc=5(a+b+c)，由此显然得质数a、b、c中必有一个是5，不妨设a=5，代入前式中再设法求b、c解因为abc=5(a+b+c)，所以在质数a、b、c中必有一个是5，不妨设a=5，于是5bc=5b+5c+25，即(b-1)(c

6、-1)=6，而6=23=16，则①或②由①得b=3,c=4，不合题意，由②得b=2,c=7，符合题意。所以所求的三个质数是5，2，7。于是a2+b2+c2=78评注：质数问题常常通过分解质因数来解决。 例4试证：一个整数的平方的个位数字为6时，十位数字必为奇数。分析：一个整数的平方的个位数字为6，则这个整数的个位数字必为4或6，从而可设此数为a=10g+4或a=10g+6(g为整数)。证明：设一个整数为a，则由一个整数的平方的个位数字为6知，此数可设为a=10g+4或a=10g+6(g为整数)∴

7、当a=10g+4时，a2=(10g+4)2=100g2+80g+16=10(10g2+8g+1)+6当a=10g+6时，a2=(10g+6)2=100g2+120g+36=10(10g2+12g+3)+6∴十位数字必为10g2+8g+1和10g2+12g+3的个位数字，显然是奇数。评注：类似地，可以证明：一个整数的个位数字和十位数字都是奇数，则这个整数不是完全平方数。 例4　三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍，已知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11

8、，试求每人得糖的块数。（安徽省初中数学联赛试题）分析：设出未知数，根据题意，列出方程和不等式组，再通过质数的性质来求解。解　设甲、乙、丙分别得糖x、y、z块，依题意得　　　　∵11＝2+9＝3+8＝4+7＝5+6，故小于50且数字和为11的质数只可能是29和47　　若x+y+z＝29，则可得4y=42，y不是整数，舍去。　　若x+y+z＝47，则可得4y=60，y＝15，从而x=30，z=2∴甲、乙、丙分别得糖30、15、2块.评注：本题的关键是分析出小于50且数字和为11的质数只可能是29和4