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1、Borntowin2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1)当时,与是等价无穷小,则()(A).(B).(C).(D).1(2)如图,正方形被其对角线划分为1四个区域,,-1-1则()(A).(B).(C).(D).(3)设函数在区间上的图形为则函数的图形为()(A)(B)第16页共16页Borntowin(C)(D)(4)设有两个数列,若,则()(A)当收敛时,收敛.(B)当发散时,发散.(C)当收敛时,收敛.(D)当发散时,发散.(5)设是3维向量空间的一组
2、基,则由基到基的过渡矩阵为()(A).(B).(C).(D).(6)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为()(A).(B).(C).(D).第16页共16页Borntowin(7)设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布的分布函数,则()(A).(B).(C).(D).(8)设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为.记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上
3、.(9)设函数具有二阶连续偏导数,,则.(10)若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为.(11)已知曲线,则.(12)设,则.(13)若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为.(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差.若为的无偏估计量,则.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数的极值.(16)(本题满分9分)设为曲线与所围成区域的面积,记,求与的
4、值.第16页共16页Borntowin(17)(本题满分11分)椭球面是椭圆绕轴旋转而成,圆锥面是由过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成.(Ⅰ)求及的方程；(Ⅱ)求与之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续,在可导,则存在,使得.(Ⅱ)证明：若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且.(19)(本题满分10分)计算曲面积分,其中是曲面的外侧.(20)(本题满分11分)设,(Ⅰ)求满足的所有向量；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量,证明：线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型(Ⅰ)
5、求二次型的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型的规范形为,求的值.(22)(本题满分11分)第16页共16页Borntowin袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求；(Ⅱ)求二维随机变量的概率分布.(23)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中参数未知,是来自总体的简单随机样本.(Ⅰ)求参数的矩估计量；(Ⅱ)求参数的最大似然估计量.第16页共16页Borntowin2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～
6、8小题,每小题4分,共32分.(1)【答案】(A)【解析】与是时的等价无穷小,则即,故排除B,C.另外,存在,蕴含了,故排除D.所以本题选A.(2)【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令,两区域关于轴对称,,即被积函数是关于的奇函数,所以；两区域关于轴对称,,即被积函数是关于的偶函数,所以所以正确答案为(A).(3)【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由的图形可以看出,其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数,从而可得出下面几个方面的特征：①时,为线性函数,单调递
7、增；第16页共16页Borntowin②时,,且单调递减；③时,单调递增；④时,为常函数；⑤为连续函数.结合这些特点,可见正确选项为(D).(4)【答案】C【解析】解法1举反例：取,则,是收敛的,但发散,排除(A)；取,则,是发散的,但收敛,排除(B)；取,则,是发散的,但收敛,排除(D),故答案为(C).解法2因为则由定义可知使得时,有；又因为收敛,可得则由定义可知使得时,有,从而,当时,有,则由正项级数的比较判别法可知收敛.(5)【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基到的过渡矩阵满足：所以此题选(A).
8、(6)【答案】(B)【解析】分块矩阵的行列式第16页共16页Borntowin,即分块矩阵可逆,且故答案为(B).(7)【答案】(C)【解析】因为,所以,因此,.由于为标准正态分布的分布函数,所以,.(8)【答案】(B)【解析】第16页共16页Borntowin由于相互独立,所以.(1)当时,；(2)当时,,因此,为间断点,故选(B).二、填空
