高考数学一轮复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和教案

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1、等比数列及其前n项和【教学目标】1.理解等比数列的概念．　2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．　4.了解等比数列与指数函数的关系.【重点难点】1.教学重点：理解等比数列的概念并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图考纲传真:1.理解等比数列的概念．　2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具

2、体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．　4.了解等比数列与指数函数的关系.真题再现;1.(2016·全国Ⅲ，17)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.(1)证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝。学生通过对高考真

3、题的解决，发现自己对知识的掌握情况。通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢7.(2)解　由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.2.(2014·全国Ⅱ，17)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明　(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列.an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋

4、…＋<.知识梳理：知识点1　等比数列的有关概念1．定义；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，公比的表达式为＝q.2．等比中项；如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.知识点2　等比数列的有关公式1．通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.2．前n项和公式：Sn＝71．必会结论；等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq

5、＝a.(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{

6、an

7、}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．(5)若等比数列{an}共2k(k∈N*)项，则＝q.2．必清误区；(1)在运用等比数列的前n项和公

8、式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，与等差数列不同．(2)由an＋1＝qan(q≠0)并不能断言{an}是等比数列，还要验证a1≠0.考点分项突破考点一：等比数列的基本运算1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)A．21B．42C．63D．84【解析】　∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.【答案】　B2．已知等比数列{an}中，

9、a2＝2，a5＝128.(1)求通项an；(2)若bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝360，求n的值．学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。7环节二：【解】　(1)设{an}的公比为q，由a2＝2，a5＝128，及a5＝a2q3，得128＝2q3，所以q＝4，所以an＝a2qn－2＝2·4n－2＝22n－3.(2)因为bn＝log222n－3＝2n－3，所以数列{bn}是以－1为首项，2为公差的等差数列，所以Sn＝n×(－1)＋×2＝n2－2n，令n2－2n＝360，得n1＝20，n2＝－18(舍)，故n＝20为所求．归

10、纳：解决等比数列有关问题的常见思想方法1．方程的思想；等比数列中有五个量a1，n