等比数列及其前n项和(一轮复习)

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1、[备考方向要明了]1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.考什么1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等．2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.怎么考[归纳·知识整合]1．等比数列的相关概念a1qn－1na1[探究]1.b2＝ac是a，b，c成等比

2、数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.2．如何理解等比数列{an}与指数函数的关系？2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q则＝.特别地，若m＋n＝2p，则.(2)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝(m∈N*，公比q≠－1)．(3)数列{an}是等比数列

3、，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.am·anam·an＝aSm(S3m－S2m)ap·aq2p[自测·牛刀小试]答案：D1．在等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性解析：当a1>0,0

4、等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35解析：∵数列{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log3a5a6＝5log39＝10.答案：B答案：4或－44．在等比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为________．解析：由等

5、比数列性质，已知转化为a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，又an>0，故a3＋a5＝5.答案：55．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________．等比数列的基本运算[例1](1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝____.

6、(3)(2012·浙江高考)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.25答案：(1)B(2)B等比数列的判定与证明[例2]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；[自主解答](1)证明：∵由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由Sn＋1＝4an＋2，①知当n≥2时，

7、有Sn＝4an－1＋2，②①－②得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.∴{bn}是首项b1＝3，公比q＝2的等比数列．—————————————————等比数列的判定方法(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列

8、{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列.注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于填空题中的判定.2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.