直线和圆知识点与经典例题（含答案解析）

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1、圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。（二）圆的一般方程将圆的标准方程,展开可得。可见，任何一个圆的方程都可以写成:问题：形如的方程的曲线是

2、不是圆？将方程左边配方得：（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆心，以为半径的圆。,（3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当＞0时，方程称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1）和的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用

3、点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断:当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d0时，直线与圆相交。【典型例题】类型一：圆的方程例1求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．变式1：求过两点、且被直线平分的圆的标准方程.变式2：求过两点、且圆上所有的点均关

4、于直线对称的圆的标准方程.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．∴圆的方程为．又∵该圆过、两点．∴解之得：，．所以所求圆的方程为．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．又知圆心在直线上，故圆心坐

5、标为∴半径．故所求圆的方程为．又点到圆心的距离为．∴点在圆外．例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。解：设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将三个点的坐标代入方程ÞF＝0，D＝-8，E＝6Þ圆方程为：x2＋y2-8x＋6y＝0配方：（x-4）2＋（y＋3）2＝25Þ圆心：（4，-3），半径r＝5例3求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角

6、的平分线上．解：∵圆和直线与相切，∴圆心在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线和的距离相等．∴．∴两直线交角的平分线方程是或．又∵圆过点，∴圆心只能在直线上．设圆心∵到直线的距离等于，∴．化简整理得．解得：或∴圆心是，半径为或圆心是，半径为．∴所求圆的方程为或．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4　已知圆，求过点与圆相切的切线．解：∵点不在圆上，∴切线的直线方程可设为根

7、据∴.解得，所以，即因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解．例5两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．分析：首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆、的任一交点坐标为，则有：　　　①

8、　　　②①－②得：．∵、的坐标满足方程．∴方程是过、两点的直线方程．又过、两点的直线是唯一的．∴两圆、的公共弦所在直线的方程为．说明：上述解法中，巧妙地避开了求、两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还