直线与圆知识点及经典例题_含答案_

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1、圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222(xa)(yb)r新疆王新敞这个方程叫做圆的标准方程。学案222说明：1、若圆心在坐标原点上，这时ab0，则圆的方程就是xyr。2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要abr,,三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了。新疆王新敞就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件学案确定abr,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决。（二）圆的一般方程22222222将圆的

2、标准方程(xa)(yb)r,展开可得xy2ax2byabr0。可见，任何一个22圆的方程都可以写成:xyDxEyF022问题：形如xyDxEyF0的方程的曲线是不是圆？22D2E2DE4Fx2y2DxEyF(x)(x)将方程0左边配方得：222DE22x2y2DxEyF(,)（1）当DE4F＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程0表示以22为圆22DE4F心，以2为半径的圆。,22（3）当D2E24F＜0时，方程xyDxEyF0没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一

3、般方程的定义：22当D2E24F＞0时，方程xyDxEyF0称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：2y2（1）x和的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断:当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d

4、直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切；当Δ>0时，直线与圆相交。【典型例题】类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系．变式1：求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y0平分的圆的标准方程.1变式2：求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y0对称的圆的标准方程.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与

5、圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）222222设圆的标准方程为(xa)(yb)r．∵圆心在y0上，故b0．∴圆的方程为(xa)yr．22(1a)16r2又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．∴解之得：a1，r20．22(3a)4r22所以所求圆的方程为(x1)y20．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）42因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上

6、，又因为k1，故lAB13的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：y3x2即xy10．22又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(1,0)∴半径rAC(11)420．22故所求圆的方程为(x1)y20．又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为22dPC(21)425r．∴点P在圆外．例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。22解：设圆的方程为：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，将三个点的坐标代入方程F0DEF204D2

7、EF200F＝0，D＝8，E＝6圆方程为：x2＋y28x＋6y＝022配方：（x4）＋（y＋3）＝25圆心：（4，3），半径r＝5例3求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线x2y0与2xy0相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，x2yx2y又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等．∴．∴两直线交角的平分线方程是55x3y0或3