2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．（2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数满足则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，故选A．（3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列的前项和为，已知，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】设数列的公比为，若，则由，得，此时，而，不满足题意，因

2、此．∵时，，∴，整理得．∵，即，∴，故选C．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足，，，，则（）（A）且（B）且（C）与相交，且交线垂直于（D）与相交，且交线平行于【答案】D【解析】因为，，，所以．同理可得．又因为，为异面直线，所以与相交，且平行于它们的交线，故选D．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知的展开式中的系数是5，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】因为的二项展开式的通项为，则含的项为，所以，，故选D．（6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的

3、（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由程序框图知，当，，时，，；当时，，；当时，，；当时，，；…；7当时，，，增加1变为11，满足，输出，所以B正确，故选D．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系的图像为下图：则它在平面上的投影即正视图为A图形，故选A．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设，，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析

4、】根据公式变形，，，，因为，所以，即，故选D．（9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知，满足约束条件，若的最小值是1，则（）（A）（B）（C）1（D）2【答案】B【解析】由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线，因为直线与直线的交点坐标为，结合题意知直线过点，代入得，故选B．（10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数，下列结论中错误的是（）（A），（B）函数的图象是中心对称图形（C）若是的极小值点，则在区间单调递减（D）若是的极值点，则【答案】C【解析】若则有，所以A正确．由得，因为函数的对称中心为，所以的对称中心为，所以B正确．由三

5、次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，D正确，故选C．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（）（A）或（B）或（C）或（D）或【答案】C7【解析】设点的坐标为，由抛物线的定义，得，则．又点的坐标为，所以以为直径的圆的方程为．将，代入得，即，所以．由，得，解之得，或．所以的方程为或，故选C．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B第II卷本卷包括必考

6、题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形的边长为，为的中点，则______．【答案】2【解析】解法一：在正方形中，,,所以．解法二：以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，所以．（14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从个正整数，…，中任意取出两个不同的数，若其和

7、为的概率是，则______．【答案】8【解析】从1,2，…，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有，2种，所以，即，解得．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设为第二象限角，若，则_______．【答案】【解析】由，得，即．将其代入，得．因为为第二象限角，所以，，．7（16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为_______．【答案】【解析】设数列的首项为，公差为，则，①．②联立①②，得，，所以．令，则，．令，得或．当时，,时，，所以当时，取最小值，而，则，，所以当时，取最小值．三、解答题：解答应

8、写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】的内角的对边分别为已知．（1）