湖南省湘潭县一中、浏阳市一中、宁乡县一中2015届高三数学10月联考试题 理

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1、湘潭县一中、浏阳市一中、宁乡县一中高三10月联考理科数学命题：宁乡一中高三理科数学组总分：150分时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A、B、C、D、2.在等比数列中，已知，则（）A、B、C、D、3.设集合，则（）A、B、C、D、4.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A、B、C、D、5.已知命题：:在中，的充分不必要条件是;:.则下列命题为真命题的是（）A、B、C、D、6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A、B、C、D、7.的三个内角A，B，C对应的边分别为，，，且成等差数列，则角等于

2、（）A、B、C、D、-9-8.函数的图像大致为（）ABCD9.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（）A、B、C、D、10.设是函数的定义域，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在“次不动点”.若函数在上存在三个“次不动点”，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.设为曲线在点处的切线，则的方程为12.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为13.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概

3、率是14.已知圆，平面区域：，若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为15.如图，在中，已知点是边的三等分点且，过点的直线分别交直线,于,两点，若，，则的最小值为-9-一、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知函数，.（1）若函数的最大值为1，求实数的值；（2）若方程有两解，求实数的取值范围.17.（本小题满分12分）某旅游景点为了增加人气，吸引游客，特推出一系列活动.其中有一项活动是：凡购买该景点门票的游客，可参加一次抽奖：掷两枚6个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖品价值120元；点数之

4、和为11点或10点获二等奖，奖品价值60元；点数之和为9点或8点获三等奖，奖品价值20元；点数之和小于8点的不得奖.（1）求同行的两位游客中一人获一等奖、一人获二等奖的概率；（2）设一位游客在该景点处获奖的奖品价值为，求的分布列及数学期望.18.（本小题满分12分）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，侧棱底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.-9-19.（本小题满分13分）等差数列的前项和为，已知，.（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和为，求不等式的解集.20.（本小题满分13分）已知圆，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足.（1）求点

5、的轨迹的方程；（2）过点作直线，与交于、两点，与交于、两点，求的最大值.21.（本小题满分13分）已知函数.（1）若为定义域内的单调函数，求实数的取值范围；（2）判断函数的单调性；（3）对于，求证：.-9-湘潭县一中、浏阳市一中、宁乡县一中高三10月联考理科数学参考答案一、选择题题序12345678910答案BCCACDBABA二、填空题11、12、13、14、15、三、解答题16、解析：（1）∵∴∴∴………………6分（2）∵即∴又，∴方程有两解，只要满足即……………………12分17、解析：（1）一位游客获一等奖的概率为；获二等奖的概率为故两位游客中一人获一等奖、一人获二等奖的概率为……5分（

6、2）可取0、20、60、120，则∴的分布列为02060120∴………………12分18、解析：（1）连接，交于点，连接△中，是的中点，是的中点-9-∴又平面平面∴平面………………5分（2）建系如图.由题可知：，则设平面和平面的法向量分别为，，则，即，即故二面角的平面角的余弦值…………12分19、解析：（1），又，∴∴………………5分（2）①②①②得：∴………………10分故不等式可化为，即∴原不等式的解集为{1,2,3}………………13分20、解析：（1）设，则，∴，-9-由题可知：即，解得而在圆上，∴有故点的轨迹方程为.………………5分（2）当直线斜率不存在时，，，则；当直线斜率存在时，设其斜

7、率为，则的方程为.设，将与联立，消去，整理得：，由根与系数关系得：，∴同理可设，将与联立，消去，整理得：，由根与系数关系得：，∴故综上可知：的最大值为.………………13分21、解析：（1）∵为定义域内的单调函数∴恒成立∴恒成立又∵（当且仅当时等号成立）∴………………3分-9-（2）由（1）知，时，在内为增函数当时，由得，，∵，知当时，递增；时，递减；时，递增故时，增区间为时，增区间为和，减区间为…