第一章多自由度系统的固有振动特性

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1、第一章多自由度系统的固有振动特性§1.1概述实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。§1.2无阻尼系统的自由振动1.振动方程[M]{〃}+[K]{u}={0}(1-1)[M]eRNxN[K]eRNxNf{u}=[uAu2为广义位移矢量2.质量矩阵物理意义动能T=-{rMW}>07777/.=――=m..（1-2）2duQUj（1）质量矩阵反映了系统的动能（2）

2、质量矩阵是正定的（3）质量矩阵是对称的例外：纯静态位移{山}使宀心［⑷心=0（1-3）如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。3.刚度矩阵的物理意义势能12rrU=-{u}t[K]{u}>0kij=^-=kji（1-4）2du^oUj（1）刚度矩阵反映了系统的势能（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）（3）刚度矩阵是对称的刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义一一柔度矩阵使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动

3、方程，分别称为“力法”、“位移法”1.特征方程各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。(1-5){«(/)}二{(/}cos(69t-a)({K-co2[M]){U}={Q}[K]-o)2[M]=0求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。2.几个基本概念（2009・3・24）（1）固有频率特征方程的根为°?,©即为固有频率，它反映了结构自由振动随时间的变化特性。（2）固有模态或固有振型(1—6)对应于特征方程根的特征矢量{%/}=[妁1妁2•…1它反映了结构自由振动在空间的变化特性

4、。(3)标准模态对固有模态归一化｛%｝=q｛0｝(1—7)则｛0｝称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有：1)置｛0｝中某一分量为12)置｛0｝中绝对值最大的分量为13)置模态质量为1,(1-8)(4)刚体模态：对应于(1-9)｛0畀［口｛0。｝=0纯刚体模态：仅含有一种刚体运动(5)纯静态模态：使［M］｛^)=｛0｝的模态，在非一致质量阵中，某些对角元素可以为零，可以找到一组位移使IM叭}={0}(1-10)(6)单频：ihj,a)i丰称J,a)j为单频。(7)重频:i7，a)i=a)j称

5、©,®为重频,但相应有两个模态。(8)密频或近频：iHj,col=®通常当co,-®Vi。"时，可以称为密频§1・3固有频率与固有模态的特性1.正交性指模态对刚度矩阵［K］及质量阵［M啲加权正交性:{0F[M]{0}=O{如"]{0}=0证明：由[K]{0・}=02[M]{0.}分别前乘｛0｝厂，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。【问题】:(1)重频或密频时,正交性是否成立。般不正交，但线性无关，可以用正交化方法找到两个对应的正交向量。(2)对于刚体模态是否有正交性?对｛0o｝由于有=｛0｝故

6、有［K］正交性。(3)对于纯静态模态是否有正交性?对他J由于有［M］｛^｝=｛0｝故有［M］正交性。但｛如｝不一定［M］正交，他｝不一定［K］正交。同样需要做变换，找到一组新的向量，以满足对质量阵和刚度阵的正交性。(4)与正交性有关的一些概念模态矩阵@]=[{如{0}…{加}]广义质量阵(模态质量阵)diag［Mr］=［^］T［MW广义刚度阵(模态刚度阵)diag[Kr]=[^]T[K][^]若模态已经按模态质量为1归一化，则diag[Mr]=[I]diag[Kr]=diag[a）：.]（1-14

7、）（4）解耦：利用模态矩阵作变换阵，以模态坐标作为新坐标系，对方程作线性变换仏（/）｝=@]｛曲）｝（1-15）则有Mq,.⑴+Krqr⑴=0（r=1,2,…N）（1—16）2.展开定理（1）位移展开定理N维空间中任一位移向量也⑵｝可以按该空间中的模态坐标展开N(1-17){%(/)}=[

8、征值的有序性系统的特征值按从小到大的顺序排列，即(1)特征值有序性的物理意义低阶模态对应低阶固有频率，虽然频率是时间上的概念，模态是空间上的概念，但两者成对出现，共同描述同一现象。（2）高阶模态对应高阶的能量（3）考虑模态截断时，一般是截断高阶模态，保留低阶模态，而不是随意取舍。（4）特征值的序数对应着振动模态的阶次。（5）特征值的有序性与特征值隔离定理有关系2.特征值隔离定理（瑞利约束定理）对一个N自由度系统，其固有频率（特征值）具有有序性，如果在这个系统上增加一个约束，使其成为