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1、第四章连通性4・1•连通空间Def4.1.1设A,BuX,若(AnB)u(BnA)=0,则称A与B是隔离的。例：在/?中，(0,1)与(1,2)是隔离的；(0,1)与［1,2)不是隔离的。例：在平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的。在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的。Def4.1.2设X是一个拓扑空间，若A,BuX隔离，使X=AuB，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间。Th4.1.1设X是一个拓扑空间，则以下等价：(1)X是一个不连通空间；(2)存在着两个非空的闭子集A,BuX,使得AcB=0,
2、AuB=X；(3)存在两个非空开子集A,BuX,使得4cB=0,AuB=X；(4)X中存在着一个既开又闭的非空真子集。例4.1.1有理数集Q作为/?的子空间是一个不连通空间。Th4.1.2实数空间R是一个连通空间。Def4.13设Y是拓扑空间X的一个子集，若Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是x的一个连通子集；否则，称y是x的一个不连通子集。Th4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集，A,BuY，则A,3是Y中的隔离子集o它们是X中的隔离子集。Th4.1.4设YuX是拓扑空间X中的一个连通子集，如果X屮有隔离子集A,
3、B使得YuAuB,则或者FuA,或者KczBo证明：若A,B是X屮的隔离子集，使得ycAuB,贝y((/lny)nBny)u((Bny)nAny)u(AcYcB)u(3cYcA)=yn((AnB)u(BnA))=0故An/,BcY也是隔离子集，又(AcY2(BcY)=(AuB)cY=Y。则An/,BnK屮必有一个是0,若AcY=0,则YuB；若Bn/=0,则FuA。Th4.1.5设丫uZ是拓扑空间X的一个连通子集，ZuX满足丫uZu歹，则Z也是的一个连通子集。Th4.1.6设忆｝是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族，
4、如果/yer则IX是X的一个连通子集。yerTh4.1.7设Y是拓扑空问X屮的一个子集，若,存在X屮一个连通子集『巧使得则Y是X中的一个连通子集。证明：若y=0,则丫显然连通，下设丫工0。r,易证“UN••且QWA/由Th4.1.6知丫是连通的。yeYTh4.1.8设/：XT丫是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，则/(X)是丫的一个连通子集。Th4.1.9设X],X2...Xn是Q个连通空间，则积空间XlxX2X...xXn也是连通空间。作业：^22-1232,4,6,10,154.2•连通性的某些应用Th4.2
5、.1设EuR,E为连通子集u>E是一个区间。Th4.2.2设X是一个连通空间，f.XfR是一个连续映射，则/(X)是R屮一个区间。Th4.2.3(介值定理)设f：W,b]TR连续，则对/(g)与/(b)之间的任一实数厂,存在[a,b]f使得f©=rTh4.2.4(不动点定理)设/:[0,1]^[0,1]是一个连续映射，则[0,1],使得/©=§证明：若/(0)=0或/(1)=1,则显然下设/(0)>0,/(l)1o由介值定理知3
6、^6[0,1]使得=即=□Def.设x=(X],x2)gS,点一x=(-西，一兀2)wS'称为点兀的对径点。映射r:StS,r(x)=-x,称为对径映射。Th4.2.5(Borsuk-Ulam定理).设flS^R是一个连续映射，则在S’上存在一对对径点兀和一兀,使得/(x)=/(-%)oTh4.2.6/?>1维欧氏空间的子集/?，?-{0}是一个连通子集。其中o二{o,o,・・・ou证明：只证n=2的情形。由定理Th4.1.9知F小的子集(一oo,0)X/?和(0,oo)XR都是连通的，rtl(0,8)xRu[0,8)
7、xR—{0}u[0,8)xR=(0,8)x7?由定理Th4.1.5知F屮的子集A=[0,oo)x/?-{0}是连通的；同理B=[-oo,0)xR—{0}也是连通的，由AnB#0,A^jBR2-{0},由Th4.1.6知疋-{0}是连通的。Th4.2.7R2和/?不同胚。Th4.2.8(Brouwer不动点定理)设/:E"TE"是一个连续映射，其屮E"是〃维闭球体,则存在gwE”使得/©=§Th4.2.9(Borsuk-Ulam)设/:S"TS，是一个连续映射，n>l,则存在xeSn,使得/(x)=f(-x)oTh4.2
8、.10若n$l,则/?"和左不同胚。作业：片282,4,64・3•连通分支Def4.3.1X为拓扑空间，兀,ywX,若X中有一个连通子集同时包含x,儿则称点x和丁是连通的。注：易证拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系。Def4.3.2设X为一个拓扑空间，对于X屮点的连通关系而言的每一个等价类称为X中的一个连通分支。若YuX,Y作为
