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1、第二章P731・求集合的导集和闭包(1)设A是有限补空间X小的一个无限子集，求A的导集和闭包。(2)设A是可数补空间X小的一个不可数子集，求A的导集和闭包。(3)求实数空间於屮的有理数集Q的导集和闭包。(4)设X*是§2.2习题9屮定义的拓扑空间，求单点集{oo}的导集和闭包。解(1)VxeX,则x的任意邻域U满足Ad(A)=X,A=AJd(A)=X・(2)与(1)相同.(3)d{Q)=R,Q=R・(4)X/xwX*且"8,X均为x的一个邻域，且Xn({-}{x})=XD{8}=0,所以d({°°})=0,{8}={8}・4•设X是一个拓
2、扑空间，{念}冋是X小的—•个任意子集族，其小指标集「非空；A,BuX，证明以下三个包含关系，并举例说明每个包含关系都不能改为等号。(1)U^rAruUrAr(2)A^rAr=>0^Ar(3)A-B(zA-B证：(1)V/eT,%uU冋每,则後uU^r每，・・・U每uU“A厂例：取(0,2],U4=(M=[o,2].(2)v/gr,有仃小每u每,则舛例：取％卄1=(°，1)，A2h={1}，则n兀二｛i｝,门心二久w=l（3）VxgA-B,•A由于兀纟B,3Vg«/v且$是开集使得VcF,又由t/nVGXGA有J/cVcAh0,于是Uc（A-
3、P）z＞（/cAc扌z）t/cAcVH0・故x€A-3,从^而A—B（ZA—B（Z.A—B.例：取Xx,A=（O,2）,B=（O,l]ng,则A-B=（1,2],A-B=[1,2],A-B=[0,2].6.（杨忠道定理）证明：拓扑空间中的每一个了集A的导集为闭集当且仅当此空间中每一个单点集的导集为闭集。证：必要性显然.现证充分性•Vxgd（A）,由于rf（A）cA=A=AuJ（A）,:.xeAud[A）.若A贝欣丘d（A）.若xwA,以下证xw〃（A）・由于d（｛x｝）为闭集，故G翌（〃（&｝））、j且为开集，Vt/ff集「s，V-t/nGe
4、^且为开集.由于xwd（A）,故Vc〃（A）H0,取yeVnJ（A）,则yeVczUHyed（A）于是〃c（A—｛y｝）H0.再分两种情形考虑：（1）y=xf则LA有x=yed（A）.（2）yH兀，令W=（｛7｝）,由于ywVuG=（d｛x｝）・故｛x｝u〃（｛x｝）=｛x｝,于是Wguy且为开集且（UcW）c（A—卜｝）=0,而兀GW,故Uc（A-｛x｝）z）UcWc（A-｛x｝）=（/cWcAz）（/cWc（A-｛y｝）H0,从而兀wd（A）即d（A）ud（A）,・・・d（A）为闭集.第二章P784•证明：对于任何拓扑空间（X”）中的任何
5、一个子集A,经过取补集，闭包，内部三种运算最多只能产牛14个集合，并且在实数空间屮选取一个适当的子集，使它经过上述三种运算，恰能产牛14个不同的集合。证：因对任意AuX,均有=7T爲所以若A是开集的闭包，则A=A0-=-(因为可设A=G,Ggr,一方面另一方面，±G(zG=A,得G=G°(=A°,所以A=G=G°-cA()~，从而A=Al)~).只需考虑取补集和闭包两种运算。⑴对于A先取补再取闭包，至多有下列7个不同的子集，f-*,A,A,这是因为/T是闭集，是开集，于是犷L是开集的闭包，所以A'"▼「=犷「就重复出现了。⑵对A先取闭包再取补
6、，至多有下列6个不同的子集，A-,A「，A-L,A"',A-LL,＞TL—。这是因为A"是开集的闭包,所以A~'~=A~'~・(3)若对A连续取闭包或连续取补，则有A-=AA"=A,均重复出现，所以(1)的7个加(2)的6个，连同A本身至多14个.例，在尺中令A=[(O,l]—£
7、/疋N”U([l,2]cQ)U((4,5]c0)u[2+-^”wn]I几+1丿就能恰好得到14个不同的了集，读者可口行验证.6.设X和Y是两个拓扑空间，/:XtY，证明以下两个条件等价：(1)f连续.(2)对于Y的任一了集B,B的内部的原像包含于B的原像的内部，即
8、厂(B")u(厂⑻)1证：利用定理2.4.10,只需证该定理的(4)与本题的(2)等价即可.定理2.4.10(4)=＞木题(2)・由对Y中的任意B,有广迄)n广0),则广
9、的二(广倒)-,则厂®)u(厂(耐・将上述过程逆推，则得本题(2)=＞定理2.4.10(4)第二章P872.欧氏平面虑2的一个子集》叫做一个开矩形，如果存在c、b、c、de^满足avb和cvd,使得D=(a,b)x(c,d),其中(a,b)和(c,d)都表示开区间.证明：虑$小所有的开矩形构成的集族是於2的一个基.证明：任取施虑2以及％的一个邻域/.则3£>0,使B(x,£
10、)CUx,设兀=(兀1，兀2)[血近、r近xexx+亍£kX兀2-亍片乂？H£“2为於'坐标，易证,uBg)uUx,从而由定理2.6.2知结论成立。4.证明实数
