元分析学测验答案(改卷用)

《元分析学测验答案(改卷用)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2012级《一元分析学》1-3章测验题答案1.求数集E=^:m

2、的上确界，并用定义加以证明.（8分）解：上确界为1.（2分）下面证明之.（1）因为055所以VxeE有XV1,即1为E的上界.（4分）/£>0,取兀=则mgZ+,H—eEn—1-丄〉17.nn依上确界定义，1为E的上界.（8分）2.讨论/（x）=x2D（x）的可导性，其中D（兀）为Dirichlet函数.（8分）解：⑴当兀=0时，因为=limxD(x)=limxD(x)=0,所以/(劝在x—>0xx—>0兀x—>0（否则，假设x=0处可导.（4分）⑵对任意的兀。工0

3、,因为limD（x）不存在，所以1im/（x）不存在x—>x0x—>x0lim/（x）=A,则lim£>（x）=lim^=4.矛盾），从而/（兀）在兀处不连续，不可导.XfYoXT•勺X~Xq（注：也可用导数定义，通过取有理数列和无理数列得到证明）故，/（X）仅在兀=0处可导.（8分）1.求下列极限（不能用洛比达法则）.（每小题6分，共24分）（注：计算题过程对答案错，仅扣1分；答案对但无过程，得3分）丄⑴lim（l"+2”++2012"卩.川TOO⑵解:limxtOcos2x-lX2+/-12x2=-lim—―,—=-lim——于——-=1.工-

4、>()兀2*_]x->()牙2*兀■*o(牙2)解：limxtO=limexd-ln^'+e+…+*'X=exx->0lim丄(H+占+•••+"-1)丿解：1lim(l”+2"+・・・+2012y=2012(用迫敛性)."TOO-ex=exjlim丄(*+'”+•••+广I20n⑷lim(z?!)"2.刃一>00se亠八1!zlx1zlnlIn2ln/7xrl..In/?八解：因为0<—ln(n!)=—(——++)JzLlim=0,/广n12n“toon所以lim迴学=0,lim(“!)庐=e°=1."一>8”〃一>004.设/（Q在［0,+oo

5、）上连续,且/（x）>0,limf（x）=0.证明：/（兀）在0+00）上有最•VT+C0大值.（10分）证：若/（兀）三0,则0是其最大值，结论成立.（2分）若存在x0>0使得/（兀。）>0,贝0存在X>0使得Vx〉X有/（兀）X有/(x)f(xQ)>f(x)g>x）.故/（沪帆/⑴,.fCr）在［0,+Q上有最大值.（10分）Ahx5.设05bWl,X

6、=—,兀“=——4（斤=2,3,…），证明

7、数列｛£｝收敛并求其极限.（10分）证：由数学归纳法得到坷>x3>--->0,x2

8、;）0O??—>0O当/丿2为S"］的两个端点时，同理可证（gr,=a

9、0分）6.设函数/（兀）在有限区间［a,®上连续，且西,花,…，百是这个区间内的任意点.证1H明：日歹丘⑺小），使得/（^）=-Y/（xJ.（8分）nk=I”证：记u=—Vf（xk）H不妨X］=min{X］,X2,…，兀}，=max{rpx2<-sxH},x

10、/(x)

11、=

12、A

13、>^>0,于是3^,>0,使当XTX

14、。・丫->曲2(2分)川(rgQ)时，有f(x)

15、>

16、A

17、-^=^再由lim/(x)=A,W>0,352>0,使当兀丘卩