2018年高考数学黄金100题系列第12题函数的周期性与对称性理

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1、第12题函数的周期性与对称性I.题源探究•黄金母题【例1】容易知道，正弦函数y二sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是？你能用已学过的正眩函数性质解释上述现象吗？对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题.【解析】由周期函数的性质知，T二2兀所以对称屮心为伙迅0)伙wz),正弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性7T质知其对称轴方程纬X=~+k7T伙WZ).对于余弦函数同样有类似的性质，因为cos.A=sin(A+-)所以对称中心

2、为27F(―+k龙,0)伙wZ),余眩曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知X=Kn(K为整数).正切函数同样有类似的性质，对称中心为(kJi/2,0)(K为整数)但不是轴对称图形，而是屮心对称图形.精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第46页A组第11题【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点.【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式.【例2】己知函数y=f(

3、x)的图象如图所示，试回答下列问题:考点：函数的图象，函数解析式的求解及常用方法>(2)函数y二f(x+1)的图彖可由函数y二f(x)的图象向左平移1个单位得到，因为函数y二f(x)的图象过点(0,0)、点(1)求函数的周期;(2)画出函数)「=f(x+l)的图象；(3)你能写出函数y=f(x)的解析式吗?【解析】(1)从图象得知，x从0变化到1,函数经历丄个周期，即2—=1,故函数的周期T=2；2【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第3题【母题评析】本题以y=f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式(根据图像求解析式

4、)问题，此类问题是高考常考的题型之一.【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”.【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点.

5、常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围.备考时应加强对这部分内容的训练.【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、(1,1-)所以y二f(x+1)的图象经过(-1,0)、点(0,1),再根据函数为周期函数画出图象：(3)当-lWxVO吋，f(x)=-x,当OWxVl时，f(x)二x；当2nTWxV2n时，f(x)=f(x~2n)=-(x~2n

6、)=2n~xf当2nWx<2n+l时，f(x)=f(x-2n)=x-2n,[2n-x,2n-l

7、x=/(x),所以/(兀)的图象关于直线x=l对称，C正确，D错误；又fx)=丄一一="I")(o

8、已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.f(919)=.【答案