【金版学案】高中数学人教版选修2-2习题：1．31《函数的单调性与导数》

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1、1・3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数1・掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.渎教材紀新扛基础梳理1.一般地，可导函数加：）的单调性与其导函数f（兀）有如下关系:导函数的符号不等式的解集函数的单调性单调区间r（x）＞o(a,b)单调递增递增区间fW<0(a,b)单调递减递减区间f(x)=0常函数想一想：⑴在区间a方）内，如果/（x）＞o,则加：）在该区间内单调递增，反过来也成立吗?解析：不一定成立.例如，f（x）=x3在R上为增函数，但f（0）=0,即f（x）＞0是几对在该区间内单调递增的充

2、分不必要条件.（2）利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？解析：函数的定义域.函数的单调区间是函数定义域的子集.2.函数单调性与导数值大小的关系一般地，设函数y=f(x),在区间(°,〃)内，(1)如果『(兀)

3、越大，函数在区间0Z0内变化得越快,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；(2)如果『(兀)

4、越小，函数在区间⑷Z0内变化得越慢,函数的图象就比较“平缓”(向上或向下).囿圃囿遲1.函数Xx)=(x-3)ex的单调递增区间是(D)A.(一8,2)B.(0,3)C・(1,4)D・(2,+8)解析:r(x)=(x-3)V+(x-3)(ev)r=(x-2)e令尸(x)>0,解得x>

5、2.2・函数Ax)=x3-3x2+1的单调递减区间为(D)A.(2,+8)B・(-8,2)C・(一8,0)D・(0,2)解析:/(x)=3x2-6x=3x(x-2),令/(x)<0,得0VxV2,所以几兀)的单调递减区间为(0,2).故选D.3・已知函数f(x)=y[x-rx9则有(A)A.几2)勺(e)勺⑶B.张)勺⑵勺⑶C・几3)勺(e)勺⑵D.张)勺⑶勺⑵解析：在(0,+8)内，尸(工)=++》0,所以/(兀)在(0,4-00)内是增函数，所以有几2)勺(e)勺⑶.斜课时利條一］1.函数J=4x2+

6、的单调增区间是(C)A・(0,+°°)B・(—8,1)(\C・R+°°JD・(

7、1,+°°)2.若在区间(a,b)内有/(x)>0,且伽*则在(a,方)内有(A)A・/(x)>0C./(x)=0D.3・下列区间中，使函数j=xcosx—sinx为增函数的区间是(B)(n3兀、A•厅’丁B・(兀,2兀)〔3兀5Q~2~JD・(2兀,3Ji)解析：f(x)=cosx—xsinx—cosx=—xsinx,当兀丘(n,2n)时，f(兀)>0•故选B・4.函数/(x)=sinx-2x的递减区间是・解析：因为/(x)=cosx—2<0,所以兀)在R上为减函数.答案：(一8,+°°)匾因ISO5.(2014噺课标全国II卷)若函数f(x)=kx—x在区间(1,+°°)单调递增，则

8、氐的取值范是(D)D・[1,+8)A.(一8,-2]C.[2,+8)解析:f(x)=k--由已知得/(x)^0在xe(i,+8)恒成立,故k^~9因为兀>1,所以0<~<1,故R的取值范围是［1,+°°).JC6.设尸(兀)是函数几兀)的导函数，y=f(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是(C)解析：由f(x)的图象可知，兀<0或兀>2时，尸(x)>0;0W2时,f(x)<0,所以，函数几工)在(一8,0)和(2,+*)内单调递增，在(0,2)内单调递减.7.若函数y=a(x3—x)的单调减区间为-血范围是解析：由f(x)=a(3x2-l)=3a33<0的解集为,知d>0・答

9、案:(0,+8)8.(2013-武汉调研)若函数y=~y+ax有三个单调区间，贝!Ja的取值范围是解析:>r=-4x2+a,且y有三个单调区间，•・•方程/=-4x2+a=0有两个不等的实根，AA=02-4X(-4)Xa>0,/.d>0.答案：(0,+oo)9・已知函数几兀)=比/_3仇+1)兀2_加+1仇>0).若几巧的单调递减区间为(0,4),单调递增区间为(一oo,0)与(4,+oo),求&的勺解析：f(x)=3kx2-6(k+l)x,由题知x=0或x=4为方程f(x)=0的两根，.6

10、区间［一1,1］上是单调函数，求a的取值范围.解析：=(2x—2a)ex+(x2—2ax)ex=ex［x2+2(l—a)x—2«

11、.令f(x)=O,即x2+2(1—a)x—2a=0.解得Xi=a—1—^/1+a2,x2=a—l+l+a^,其中Xi