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《2018高中数学初高中衔接读本专题52三角形的重心垂心外心和内心高效演练学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第2讲三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角两数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系,因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。初中阶段大家已经学习了三角形边上屮线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点(重心)、三条高线交点(垂心)、三条边的垂直平分线交点(外心)及三条内角平分线交点(内心)的问题，因
2、而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等.(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心.(3)屮线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等.【高效演练】1.如图所示，在中，点"是△肋C的内心，则APBC+ZPCA+APAB=度.【解析】•・・点P是2U5C的内心，即肿，BP?CP分别平分ZCAB,^ABC?ZACB,:.ZPEC+ZPCA+Z/?43=^ZABC
3、++扌ZC45=*Z>LBC+ZACB+ZCt5)=^180°=90°.【答案】90。2.设M为△ABC的重心，且AM=3,BM=4,CM=5,则/XABC的而积为【解析】rflAM=3,BM=4,CM=5,有AM2+=CM2,知两中线A£>,BE垂直.【答案】182.已知H、0分别为锐角AABC的垂心和外心，0D丄BC,垂足为D,则AH：OD=・【解析】可延长B0交△4BC的外接圆于E,证明四边形AHCE为平行四边形即可.【答案】2:13.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,在0B上任取一点P,连结AP,过D作AP垂线交0A于Q点.求证：0P=0Q・AD图2【解析】在AAP
4、D中，由A0丄PD,DQ丄AP可知，点Q是zMPD的垂心，连结PQ,必有PQ丄M).TAB丄AD,・・・PQ〃BA,・OPOQ^~OB~~OA又V0A=0B,・・・0P=0Q.4.如图3,在ZkABC中，AB=AC,过BC的中点D作DE丄AC于点E,G是DE的中点，求证：AG丄BE.BDC图3【解析】如團，取CE的中点H,连结HG,HD,则有HG//DC,HD//BE.'■'CD丄AD>/-HG丄AD・又'/DE1AC,・・・G是ZiADH的垂心，.'■AG丄DH.又/BE//DJH,/.AG丄EE.2.求证：三角形的三条高交于一点.已知7ABC中，AD八BC于D,BE八AC于EMD与BE
5、交于〃点、.求证CHAAB.证明以0/为直径作圆，QAPABC,BE八AC,1HDC1HEC90",D、E在以G/为直径的圆上，?FCB?DEH.同理，E、〃在以力〃为直径的圆上，可得？BED?BAD.?BCH?BAD,又VABD与VCBF有公共角DB,?CFB2ADB90",即C/7AAB.3.(1)设G是AABC的重心,证明：AGBC,AGAC,AGAB的面积相等.(2)利用(1)的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍.ED【分析】（1）设三条中线为AD,BE,CF,三中线交于G点，G是重心，由同底等高得到Sagbc=2Sagcd,Sagac=2
6、SAgcd,由此能证明AGBC,AGAC,AGAB的面积相等.（2）设三条中线为AD,BE,CE,三中线交于G点,G是重心,由SaGBC^SaGAC,SaGBC=2SaGCD,得到SaGAC=2SaGCD,由此能证明三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍.【解析】（1）证明：设三条中线为AD,BE,CF,三中线交于G点，G是重心,贝JAG=2GD,CG=2GF,BG=2GE,.'BEh=CD^-'-SAGBC=2S2iGGD/AG=2GD,・・・Samc=2Sagod,・■.SaGBC=SaGAC^同理SaGAC=SaGAE^/.AGBC,AGAC,ZkGAB的面积相等.（
7、2）证明：设三条中线为AD,BE,CF,三中线交于G点，G是重心，VAGBC,AGAC,AGAB的面积相等,••Sacbc^Sagac^TBD二CD,・•・Sagbc-2Sagcd,Sagac^SSagcdjVAAGC和ADGC在分别以AG和DG为底时,高都是点C到边AD的距离，・・・AG二2GD，同理可证CG二2GF,BG二2GE,・・・三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边屮点的距离的2倍.【点评】本题考查三角形面积
