三角法与向量法解平面几何题(正)

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1、第27讲三角法与向量法解平面几何题相关知识在中,R为外接圆半径,为内切圆半径,,则1,正弦定理:,2,余弦定理:,,.3,射影定理:,,.4,面积:==.A类例题例1.在ΔABC中,已知b=asinC,c=asin(900-B),试判断ΔABC的形状。分析条件中有边、角关系,应利用正、余弦定理,把条件统一转化为边或者是角的关系,从而判定三角形的形状。解由条件c=asin(900-B)=acosB=.ΔABC是等腰直角三角形。例2.(1)在△ABC中,已知cosA=,sinB=,则cosC的值为()A.B.C.D.解∵C=p-(

2、A+B),∴cosC=-cos(A+B),又∵AÎ(0,p),∴sinA=,而sinB=显然sinA>sinB,∴A>B,∵A为锐角,∴B必为锐角,∴cosB=∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.选A.说明△ABC中,sinA>sinBA>B.根据这一充要条件可判定B必为锐角。(2)在Rt△ABC中,C=90°,A=θ,外接圆半径为R,内切圆半径为r,21当θ为时,的值最小。解答由题意,R=,r=.(其中a、b、c为Rt△ABC的三条边长,c为斜边长)∴===.∵sin(α+)≤1,∴≥

3、=+1.当且仅当θ=时,的最小值为+1。例3在△ABC中,=,求证:B、A、C成等差数列。分析由于条件等式是关于三角形的边、角关系,而要证的结论只有角的关系,故应运用正弦定理将边转化为角。而B、A、C成等差数列的充要条件是A=60°,故应证A=60°。证明由条件得=.∵sin(A+B)=sinC,∴sin(A-B)=sinC-sinB,∴sinB=sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB.∵sinB≠0,∴cosA=,A=60°.∴B、A、C成等差数列。例4ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为,若,

4、求角C的大小。解由=cosB,故B=,A+C=.由正弦定理有:,又sinA=sin(-C)=,于是sinC=cosC,tanC=1,C=。A+C=,要求C需消去A。说明解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系,从而得关于A、C的两个方程21链接1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)己知两角和任一边,求其它两边和一角;(2)己知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两边和其中一边的对角解三角形,有一解或两解。2.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)

5、己知三边,求三个角;(2)己知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角。3.解斜三角形:要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么,求什么。再运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。4.研究三角形的边角关系和判断三角形的形状:运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式,灵活进行边角转换。三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明,都可归入条件恒等式证明一类,常用到互补、互余角的三角函数关系。情景再现1△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:A=2B.2.ABC中

6、,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列,且(1)求的值(2)设,求的值3已知A、B、C是△ABC的三个内角,y=cotA+.(1)若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y的最小值.B类例题例5如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花.若BC=a,∠ABC=,设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2.(1)用a,表示S1和S2;(2)当a固定,变化时,求取最小值时的角。解(1)21设正方形边

7、长为,则(2)当固定,变化时,令,用导数知识可以证明:函数在是减函数,于是当时,取最小值,此时。o说明三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的语言转化为三角的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点,但在复习中应引起足够的关注。例6如图,A、B是一矩OEFG边界上不同的两点,且∠AOB=45°,OE=1,EF=,设∠AOE=α.(1)写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α);(2)写出函数f(x)的取值范围。解:(1)∵OE=1,EF=∴∠EOF=60

8、°当α∈[0,15°]时,△AOB的两顶点A、B在E、F上,且AE=tanα,BE=tan(45°+α)∴f(α)=S△AOB=[tan(45°+α)-tanα]==当a∈(15°,45°]时,A点在EF上,B点在FG上,且OA=,OB=∴=S△AOB=OA·OB·sin45

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