三角法与向量法解平面几何题(正)

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1、第27讲三角法与向量法解平面几何题相关知识在中,R为外接圆半径,为内切圆半径,,则1,正弦定理:,2,余弦定理:,,.3,射影定理:,,.4,面积:==.A类例题例1．在ΔABC中，已知b=asinC,c=asin(900-B)，试判断ΔABC的形状。分析条件中有边、角关系,应利用正、余弦定理,把条件统一转化为边或者是角的关系,从而判定三角形的形状。解由条件c=asin(900-B)=acosB=.ΔABC是等腰直角三角形。例2．（1）在△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A．B．C．D．解∵

2、C=p-(A+B),∴cosC=-cos(A+B),又∵AÎ(0,p),∴sinA=,而sinB=显然sinA>sinB,∴A>B,∵A为锐角,∴B必为锐角,∴cosB=∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.选A.说明△ABC中,sinA>sinBA>B.根据这一充要条件可判定B必为锐角。（2）在Rt△ABC中，C＝90°，A＝θ，外接圆半径为R，内切圆半径为r，21当θ为时，的值最小。解答由题意，R＝，r＝．（其中a、b、c为Rt△ABC的三条边长，c为斜边长）∴＝＝＝．∵si

3、n（α＋）≤1，∴≥＝＋1．当且仅当θ＝时，的最小值为＋1。例3在△ABC中，＝，求证：B、A、C成等差数列。分析由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦定理将边转化为角。而B、A、C成等差数列的充要条件是A＝60°,故应证A＝60°。证明由条件得＝．∵sin（A＋B）＝sinC，∴sin（A－B）＝sinC－sinB，∴sinB＝sin（A＋B）－sin（A－B）＝2cosAsinB．∵sinB≠0，∴cosA＝，A＝60°．∴B、A、C成等差数列。例4ABC中，三个内

4、角A、B、C的对边分别为，若，求角C的大小。解由=cosB，故B=，A＋C=.由正弦定理有：，又sinA=sin(-C)=，于是sinC=cosC，tanC=1,C=。A＋C=,要求C需消去A。说明解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于A、C的两个方程21链接1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）己知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两边和其中一边的对角解三角形，有一解或两解。2．利用余弦定理，

5、可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）己知三边，求三个角；（2）己知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。3．解斜三角形：要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么，求什么。再运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。4．研究三角形的边角关系和判断三角形的形状：运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式，灵活进行边角转换。三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明，都可归入条件恒等式证明一类，常用到互补、互余角的三角函数关系。情景再现1△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如

6、果a2=b（b+c），求证：A=2B.2．ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且（1）求的值（2）设，求的值3已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+.（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.B类例题例5如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（１）用a，表示S1和S2；（２

7、）当a固定，变化时，求取最小值时的角。解（1）21设正方形边长为，则（2）当固定，变化时，令，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。o说明三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。例6如图，A、B是一矩OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=，设∠AOE=α.（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α);（2）写

8、出函数f(x)的取值范围。解：（1）∵OE=1，EF=∴∠EOF=60°当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α)∴f(α)=S△AOB=[tan(45°+α)－tanα]==当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=∴=S△AOB=OA·OB·sin45