高考数学专题（三）代数推理题怎么解

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1、高三数学专题（三）代数推理题怎么解数学是“教会年轻人思考”的科学,针对代数推理型问题,我们不但要寻求它的解法是什么,还要思考有没有其它的解法,更要反思为什么要这样解,不这样解行吗?我们通过典型的问题,解析代数推理题的解题思路,方法和技巧.在解题思维的过程中,既重视通性通法的演练,又注意特殊技巧的作用,同时将函数与方程,数形结合,分类与讨论,等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.例1设函数，已知，时恒有，求a的取值范围.讲解:由,从而只要求直线L不在半圆C下方时,直线L的y截距的最小值.当直线与半圆相切时，易求得舍去）.故.本例的求解在于关键在于构造新

2、的函数,进而通过解几模型进行推理解题,当中,渗透着数形结合的数学思想方法,显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.还须指出的是:数形结合未必一定要画出图形,但图形早已在你的心中了,这也许是解题能力的提升,还请三思而后行.例2已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.讲解:构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函数.∵n是大于1的正整数，对一切大于1的正整数恒成立，必须,即9当前第页共9页这里的构造函数和例1属于同类型,学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通,举一反三,总结一些解题的小结论.针对恒成立的问题,函数最值解法似乎是一种非常有效

3、的同法,请提炼你的小结论.例3已知函数在区间[－b，1－b]上的最大值为25，求b的值.讲解:由已知二次函数配方,得时，的最大值为4b2+3=25.上递增，上递增，.关于二次函数问题是历年高考的热门话题,值得读者在复课时重点强化训练.针对抛物线顶点横坐标在不在区间[－b，1－b],自然引出解题形态的三种情况,这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用.该分就分,该合就合,这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定,需要在解题时灵活把握.例4已知的单调区间；（2）若讲解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）首先证明任意9当前第页共9页事实上,而.函数与不等式证

4、明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值..针对本例的求解,你能够想到证明任意采用逆向分析法,给出你的想法!例5已知函数f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．(1)证明函数f(x)的图象关于点P()对称．(2)令an＝，对一切自然数n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然数a,并证明之．(3)求证：∈Ｎ).讲解:(1)关于函数的图象关于定点P对称,可采用解几中的坐标证法.设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ），∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点

5、P()对称.9当前第页共9页(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an＝ａｎ猜a=3,即3ｎ＞ｎ２．下面用数学归纳法证明．设n=k(k≥２)时，3ｋ＞ｋ２．那么n=k+1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）∴３ｎ＞ｎ２.(3)∵３ｋ＞ｋ２∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗?试试你的数学猜想能力.例6已知二次函数，设方程的两个

6、实根为x1和x2.（1）如果，若函数的对称轴为x=x0，求证：x0＞－1；（2）如果，求b的取值范围.讲解:（1）设，由得,即，故；（2）由同号.①若.又，负根舍去）代入上式得9当前第页共9页，解得；②若即4a－2b+3＜0.同理可求得.故当对你而言,本例解题思维的障碍点在哪里,找找看,如何排除?下一次遇到同类问题,你会很顺利的克服吗?我们力求做到学一题会一类,不断提高逻辑推理能力.例7对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且（1）求函数的解析式；（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.讲解:

7、依题意有,化简为由违达定理,得解得代入表达式，由得不止有两个不动点，（2）由题设得（*）9当前第页共9页且（**）由（*）与（**）两式相减得：解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；（3）采用反证法，假设则由（1）知,有，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:由得<0或结论成立；若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗?数学解题后需要进行必要的反思,学会反思才能长进.例8设a，b为常数，：把平面上任意一点（a，b）映射为函数（