打好基础与启发思维训练能力

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1、打好基础与启发思维训练能力在基础教育中，数学占有重要的地位。作为现代社会的一个公民，必须具有一定的数学素质，其中包括若干必备的数学知识和技能，受到过逻辑推理和理性思维的熏陶。数学更是各门科学的基础，学好数学是成为各种专业（包括理、工、农、医、经济、管理等门类）人才的必要条件。因而根据素质教育的要求来提高基础教育中数学教育的水平，是很重要的一件事。本文就想从数学这门科学的特点来谈谈对基础教育中的数学教学的一些看法，供有关人士参考。由于我缺少这方面的实践经验，实际情况也了解得不多，不妥之处请予指正。 一、数

2、学是最为严谨、最为严格的科学 数学中有许多运算，它们有严格的法则，不能违反。应教会学生准确、熟练地进行各种基本的运算。数学的论证中，使用非常严格的演绎推理。在古代，欧几里德几何是严格推理的模范，它以公理、公设作为出发点，以演绎的方式构成了几何学，它的公理被认为是“不证自明”的。公设是归纳了人们的几何观察而设定的。然而这种公理化还没有到达现代化的标准。HiIbert的几何基础中列举了一些基本对象（点、直线）、基本关系（衔接、合同、介于），所谓公理就是基本对象和基本关系的属性。一切几何定理，就是这些属性的演

3、绎推理，不必对点、直线再下定义，不必引进公理之外的属性，就可建立起几何学的理论架构。各种数学系统，如整数、实数、集合、群等等都可以建立在各种公理系统之上。任何证明，都可表述为以公理为出发点的演绎，这便是现代纯粹数学（基础数学）的叙述模式。正因为有了这种严谨的体系，任何一组对象，如果它们之间有一定的基本关系，满足了公设，那么这个理论中的任何定理都是无可置疑的。例如单用直尺 和圆规用有限步骤不可能把任意角予以三等分，这是严格证明了的命题，要学生去做这类问题，就是误导。一个工程问题，如果按照成熟的力学或电工学

4、的原理，正确地归结为数学问题，经过数学推演的计算，其结论应该是非常可靠的，除非是在归结上出了问题。数学成为各门科学可靠的工具，也正因为它具有最严谨最严格的特性。因此，在基础教育中，要教会学生在进行运算时要严格地遵循运算的正确法则，而且要相当熟练，不引入主观臆想，换句话说，要认认真真地、正确地做计算。要学会严格推理困难就大一些，但也完全是必须的，一定要逐步使学生适应这种严格的推理方式，并且在书写上能反映出来。特别是在几何的教学上，一定要重视这种逻辑的演绎，这也是训练逻辑能力的有效的方法，是要重视几何教学的

5、一个原因。当然，在中学阶段，不能达到Hifbert公理化的那种程度，还必须有若干朴素的、直观的成分，必须培养对现实世界几何图形的直观、想像、计量、作图等方面的能力。 二、数学是理性的科学，是理性思维的范例 我听说，有些中小学生把数学看成是背公式的学科，这完全是误解。固然，学习数学过程中记忆是必要的，有时还要记得熟，不假思索就能说出来，例如乘法的九九表等等。但数学是理性思维的科学，有严格逻辑结构的科学，对其中的每一项内容，应该不仅仅是知其然，而且要知其所以然。最简单的公式，都有它的来源，矩形面积等于两个边

6、长之积，就是从测面积的经验中得出来的。有了这个经验事实做基础，然后就可以证明许多东西，所以可以论证三角形、平行四边形、梯形等等图形面积的公式。“勾三、股四、弦五”是勾股定理的～个特例，这样重要的定理一定要加以证明，它也可以利用计算面积得出（我国古代的证明比欧几里德几何原本中的证明简单得多）。数学是不满足于个别事物和现象的。又如说／2是无理数，开方许多步仍然没有完，没有出现循环的情况还不能说明问题，因为这许多步仍然是有限步，这件事作了严格的证明才能成立。论证的过程，也就是进一步理解的过程，揭示内在联系的过

7、程，对学生来说，是提高数学素质的重要手段。只有懂了，才能记得牢固，即使忘了，也会自己推导出来。 三、数学是极富创造性的科学 数学的最原始对象自然数就是人类思维的创造，现实世界只有三头牛、四匹马等等，数字三、四就是从此抽象出来的。点和直线也是如此。整个数学发展的过程也就是新概念、新方法、新理论的创造过程。例如从自然数到整数、到有理数、无理数以及虚数都有重大的创造。恩格斯曾说过数学是研究思想事物的科学，这是很有见地的，因为它不像别的科学有特定的具体的物质对象，如分子、原子、地球、太阳、细胞等等。对于思想事物

8、，只有不断创新才能发展出新的研究对象和方法，当然这种发展也是不断地从各种自然现象和社会现象中吸取营养而得到的。希腊学者研究天文学，创建了球面三角。牛顿的微积分研究是和力学的研究平行进行的。 无限是数学家的重大的创造，要凭想像力，同时也要有数学手段才能把握。没有这种概念，循环小数就无法理解，更不用说微积分了。无限有许多和有限不同的性质，会使人大感惊奇。对于几何来说，对无限的想像也是很有意思的。欧几平面不包括无限远点，但可以想像出无限远点，在射