高中导数应用

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1、函数、导数及其应用导数【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率：函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若，则平均变化率可表示为。2、函数y=f(x)在x=x0处导数：（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为y=f(x)在x=x0处导数，记作（2）几何意义：函数f(x)在点x处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点（，）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=(x=x0).3、函数f(x)的导数：称函数为函数f(x)的导函数

2、，导函数有时也记作。注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：方法一：直接使用定义；;方法二：先求导函数，再令x=x0求4、基本初等函数的导数公式函数导数5、导数运算法导数运算法则1．2．3．6、复合函数的导数：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题1、函数的单调性与导数：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。如果，那么函数在这个区间上是常数函数。注：

3、函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数：（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，那么f(x0)是极大值．（2）如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，那么f(x0)是极小值．注：导数为0的点不一定是

4、极值点3、函数的最值与导数：函数f(x)在[a,b]上有最值的条件：如果在区间[a,b]上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。4、生活中的优化问题：解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案【热点、难点精析】一、变化率与导数、导数的运算（一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限。（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数

5、是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。2、例题解析〖例1〗求函数y=的导数。解析：，=-。〖例2〗一质点运动的方程为。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）分析（1）平均速度为；（2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。解答：（1）∵∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,.（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=

6、-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。（二）导数的运算1、相关链接（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导；③整理得结果。（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真

7、数为有理式或整式求解更为方便。（3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。2、例题解析〖例〗（1）求的导数；（2）求的导数；（

8、3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆。解：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y’==；（5）y＝－x＋５－y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝（三）导数的几何意义【例】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程。分