第20讲 导数的应用(一)

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1、第20讲　导数的应用(一)【2013年高考会这样考】1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．【复习指导】本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间．一、【基础梳理】1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，

2、则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．3．极大（小）值点与极大（小）值：若函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大（小），且，而且在点的左侧（），右侧（）则把点叫做函数的极大（小）值点，叫做函数的极大（小）值．4．最值：如果函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在上必有最大和最小值．二、【细节点击】1、易误警示直线与曲线有且只

3、有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．2、两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．3、三个步骤：求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函

4、数的单调区间．三、【双基自测】1．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．，2.函数在上的最大、最小值分别是（）A．B．C．D．3．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（　）A．B．C．D．4．函数有极值的充要条件是（）A．B．C．D．5．在区间内“”是“在区间内单调递增”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要6．函数的单调递减区间是．四、【例题解析】考点一　求曲线切线的方程【例1】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．首

5、先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线．(1)求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程可先求f′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．【变式训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．考点二　函数的单调性与导数【例2】已知函数（1）求的单调区间和极值；（2）求在上的最值．【变式训练2】1．函数（）A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值2．极大值为．考点三　求含参函数的单调性、极

6、值、最值【例3】已知函数．（1）讨论在上的单调性；（2）若在上恒成立，试求的取值范围．【变式训练3】已知函数且,求函数的极大值与极小值.五、【课堂达标】1．函数在区间上的单调性是（）A．单调增函数B．单调减函数C．在上减，在上增D．在上增，在上减2．已知函数，在处取得极值，则（）A．B．C．D．3．若在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为（）A．B．C．D．4．若函数在区间上是单调函数,则实数的取值范围是（）ABCD5．函数在时有极值，则的值为（　）A．或B．C．或D．6．已知函数的图象与轴切于点，则的极大值、极小值分别为.7．已知在区间上为减函数，则

7、的取值范围．8．已知在处取得极值，且（1）试求常数的值；（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．