新三第11讲 有趣的数阵图

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1、有趣的数阵图传说大禹治水的时候，一只灵龟从水中翩然浮出。令人称奇的是，这只乌龟的背上竟刻有一幅图（如图①所示）。如果将图上的点转化成数字，一个点记为一个“1”，那么图①就转变成了数字图（图②）。研究这幅数字图你会发现：每一行、每一列，甚至每一条对角线上的三个数的和都相等。像上面的图②这样，把一些数按照定要求排列成各种图形，使图形中的每一条直线段或若干条线段的数字和相等，这样呈现的图形，就叫作数阵图。数阵图可以是正方形，还可以是长方形、三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形……但不管是哪一种形状的数阵图，填写时都应注意两点

2、：1．抓住数阵中的“特殊数”，比如两线交点上的数、长方形和正方形的顶点上的数……这些数与其他数相比，往往重复计算了多次，因而不妨作为解决数阵问题的一个突破口。2．确定突破口后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法求解其他数。但有时因为数字存在不同的组合方法，因此答案往往不是唯一的。【例1】将1、2、3、4、5这五个数分别填入右图中，组成一个“十字数阵图”，使图中横行三个数的和与竖列三个数的和相等。分析图中最中间的那个数最特殊，因为横行三个数相加和竖行三个数相加都算了它，即它被算了2次。因此不妨把它当作解决问题的突破口。假设它

3、填1，剩下的四个数刚好可以分成2+5=3+4，因而得到本题的一个解；假设它填2，由于剩下的四个数不能分组成两组，使两组的和相等。所以2不能填在中间；同样的方法，尝试中间填3、4、5。〖即学即练1〗将10、13、16、19、22分别填入图中，使图中横行的三个数与竖行中三个数的和相等。【例2】将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入图中，使得每条直线上的数字和为11。右下角“NT”处填的数字是几?分析除“NT”处的数外，其他六个数刚好分在两条直线上，即其他六个数的和为11×2=22。《有趣的数阵图》第78页〖即学即练2〗

4、（1）把1～7这七个数填入图中的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14；如果每条边上三个数的和等于10，那么中间数应该填几?（备用）（2）把16、17、18、19、20、21、22、23、24分别填入下图中的九个圆圈内，使每条直线上的和都等63。（备用）（备用）【例3】将1、2、3、4、5、7、8、9分别填入下图的八个圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等。最上面和最下面的两个圆圈内的数之和是多少。分析在○中标上字母a～h，根据题意，a+e+h=e+f+g+h，得a=f+g，同理

5、，c=e+h；则a+c=e+h+f+g。因为a+b+c+d+e+f+g+h=3×（e+f+g+h），则a+c=（1+2+3+4+5+7+8+9）÷3=13。〖即学即练3〗将1～8这八个数分别填入图中的圆圈内，使每个五边形上五个数的和分别为20、21、22。【例4】把1、2、3、4、5、6分别填入下图的圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，并且和最大。（备用图）（备用图）分析由于三个顶点所在位置的数重复计算了，所以三个顶点所在位置的数最大，即填4、5、6时，每边上三个数的和最大。《有趣的数阵图》第78页〖即学即练4〗（1）把3

6、、4、5、6、7、8、9、10、11这九个数分别填在下图的圆圈中，使每条边上四个数的和相等且最大。（备用图）（备用图）（2）把1～10这十个数分别填在下图的五边形边上的十个圆圈内，使每条边上的三个圆圈内的数的和相等，并且使和尽可能小。（备用图）【例5】在下图的空白区域内分别填上1、2．4、6四个数，使每个圈中的四个数的和都是15。分析题目要求每个圈中的四个数的和都是15，而左上角的圈已知的两个数的和已经是12．则剩下的两个数的和只能是3，而这只有一种可能，即剩下的两个数只能填1和2；同样的道理，右上角那个圈剩下的两个空只能

7、填1和4。这里，三个圈交叉的那个数重复了一次，而“1”也同样重复了一次．所以，可以断定三个圆交叉的那个数填“1”。〖即学即练5〗（1）在图中空白部分分别填上3、5、7、8这四个数，使每个圆中的四个数的和都是21。（备用图）（2）下图有五个圆。它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9这七个数，使每圆内的和都等于15。（备用图）【例6】下图是四个互相联系的三角形。把1～9这九个数字分别填入圆圈中，使每个三角形中数字的和都是15。（备用图）《有趣的数阵图》第78

8、页分析因要求每个三角形中数字的和都是15，则中间的那个三角形数字和必然也是15，而这有8种可能：（1、9、5）；（2、8、5）；（2、7、6）；（4、6、5）；（2、9、4）；（3、8、4）；（3、7、5）；（8、6、1）任意选一组，都可得到本题的一个解。〖即学即练6〗（1）把11、12、13、14、1