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1、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)(B)(C)(D)(3)设函数具有2阶导数，，则在区间上（）(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，(4)曲线上对应于的点处的曲率半径是（）(A)(B)(C)(D)(5)
2、设函数，若，则（）(A)(B)(C)(D)(6)设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则（）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得162014年全国硕士研究生入学统一考试数学二(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D)的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得(7)行列式（）(A)(B)(C)(D)(8)设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的（）(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分
3、也非必要条件二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.((9)__________.(10)设是周期为的可导奇函数，且，则__________.(11)设是由方程确定的函数，则__________.(12)曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是__________.(13)一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标__________.(14)设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答
4、题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)162014年全国硕士研究生入学统一考试数学二求极限(16)(本题满分10分)已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域计算.(18)(本题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.(19)(本题满分10分)设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：(I),(II).(20)(本题满分11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.(21)(本题满分1
5、1分)已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.162014年全国硕士研究生入学统一考试数学二(22)(本题满分11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明阶矩阵与相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是()(A)(B)
6、(C)(D)【答案】B【解析】由定义所以，故.162014年全国硕士研究生入学统一考试数学二当时，是比的高阶无穷小，所以，即.故选B(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】关于C选项：.，所以存在斜渐近线.故选C(3)设函数具有2阶导数，，则在区间上（）(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，【答案】D【解析】令，则,,.若，则，在上为凸的.又，所以当时，，从而.故选D.(4)曲线上对应于的点处的曲率半径是（）(A)(B)(C)(D)【答案】C162014年全国硕士研究生入
7、学统一考试数学二【解析】故选C(5)设函数，若，则（）(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】因为，所以故选D.(6)设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则（）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D)的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得162014年全国硕士研究生入学统一考试数学二【答案】A【解析】记则,所以在内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7)行列式()(A)(B)(C)(D)【答案
8、】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列.(8)设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的()(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】.记，，.若162014年全国硕士研究生入学统一考试数学二线性无关，则，故线性无关.举反例.令，则线性无关，但此时却线性相关.综上所述，对任意
