【8A版】数学抽象函数习题精选含答案

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1、【MeiWei81-优质实用版文档】抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是()A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图，易知选B。2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在上的偶函数满足，并且在上为增函数。若，则实数的取值范围.二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3．已知函数f(G)=,且f(G),g(G)定义域都是R,且g(G)>0,g(1)=2,g(G)是增函数..求证：f(G)是R上的增函数.解:设

2、G1>G2因为，g(G)是R上的增函数,且g(G)>0。故g(G1)>g(G2)>0。g(G1)+1>g(G2)+1>0，>>0->0。f(G1)-f(G2)=-=1--(1-)=->0。可以推出：f(G1)>f(G2)，所以f(G)是R上的增函数。例4．已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。证明：对一切有。且，令，得，现设，则，，而，设且，则，即为减函数。【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】2.证明奇偶性例5．已知的定义域为R，且对任意实数G，y满足，求证：是偶函数。分析：在中，令，得令，得

3、于是，故是偶函数。三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例6．已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，由得。（1）当时，，不等式不成立。（2）当时，（3）当时，，综上所述，所求的取值范围是四、不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。例7．已知函数对任意有，当时，，，

4、求不等式的解集。解：设且，则，，则，，故为增函数，【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】又因此不等式的解集为。五、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。例8.设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）证明；（2）证明：在R上是增函数；（3）设，，若，求满足的条件。解：（1）令得，或。若，当时，有，这与当时，矛盾，。（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由，（3）由得得（2）从（1）、（2）中消去得，因为

5、即。例9.已知是定义在上的奇函数，且,若时，有.（1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(G+)＜f().解：（1）设任意G1,G2∈［－1,1］,且G10∴f(G2)+f(－G1)>0,即f(G2)>f(G1),所以函数f(G)在［－1，1］上是增函数.【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】（2）由不等式f(G

6、+)＜f()得,解得－1