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《数学建模论文--商品价格问题的线性回归模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、商品价格问题的线性回归模型[摘要]：价格问题是企业及消费者普遍关注的问题,价格的高低会影响消费者的需求.价格上涨,需求下降,反之则上升.如何定价才能使销售额最大呢？本文针对此问题建立相应数学模型,如简单优化模型,线性回归模型,“价格弹性”模型等,使用最小二乘法及极值法求解出最优价格.模型从易到难、由简到繁,分别给出了单商品及双商品的数学模型,解决了单一商品及双商品最优价格问题.最后还给出了模型的推广,将二种商品推广到种商品,有很强的实用性与创新性.关键词：价格；销售额；需求函数；价格弹性；线性回归1问题的提出商品的定价是
2、企业的重要决策之一,这种看法已经成为人们的共识.价格的高低对商品需求具有重要影响.商品的定价直接关系到企业是否盈利及盈利的高低.商品的价格太高会导致销量下降,价格降低虽会提高销量,但也许因为价格太低而影响企业盈利.当只有一种商品时,显然销量是该商品价格的降函数，但当两种商品互相影响时,情况就不同了.另一商品的价格也会导致其中一种商品的销售量,即使该商品本身的价格不变.因此,如何为商品定价才能使企业获得最大销售额显得至关重要.因此,本文就此问题而寻求解决办法.分别给出单一商品和双商品的定价方案.2模型准备2.1模型假设 ①
3、以下所讨论的价格均不会低于成本②商品总能满足顾客需求,即总能保持供需平衡③商品质量等方面均能满足顾客要求之标准,不会影响顾客购买心理④不考企业间竞争及社会因素对价格的影响⑤价格在一个时间单位（如年、月、周）内不会变动2.2符号约定：第种商品第个时间单位（如年、月、周）的价格若只简单记为则表示某商品第个时间单位的价格：第种商品第个时间单位的销量 若只简单记为则表示某商品第个时间单位的销量54：商品相对商品的交叉价格弹性,当时则称为自价格 弹性：销售额,即销售总收入2.3概念解释一、销售额：销售总收入,用各商品价格与相对
4、应销售量的积的和表示需求曲线：又称需求函数,是反映价格与需求关系的函数,一般为价格的降函数二、需求自价格弹性[1]：反映商品自身价格对消费需求的影响关系,用＝需求相对变化率/价格相对变化率 表示,或是： ＝需求提高百分数/价格提高百分数三、需求交叉价格弹性[1]：反映某一商品价格变动对另一商品消费需求的影响关系,用＝商品的需求相对变化率/商品价格相对变化率表示,或＝商品的需求变动百分数/商品价格变动百分数，当时,称商品与商品互为替代品,如青菜与卷心菜,当青菜价格上升时,顾客对卷心菜的需求量则会上升;若,称商品与商品为互
5、补品,即在购买过程中,两种商品须同时按一定比例配给顾客,如汽车与汽油,当汽车价格上涨时,不仅汽车的需求会降低,同时汽油的需求量也会降低（尽管汽油价格不变）;若,则称两种商品互为独立品,即两种商品互不影响.需求曲线3单一商品的价格模型3.1简单优化模型 理想情况下已知道需求曲线：以价格为横坐标,销量为纵坐标作平面图.（如图1）记为该直线上一点,即点满足该需求曲线（函数）即： 得：欲求销售额即的最大值,亦即求点在曲线上运动时对应的矩形（阴影部分）面积最大.54 问题化为求二次曲线 的最值问题令：得稳定点：相应即销售额最大为
6、：但现实中往往不能事先知道需求曲线,或曲线并是一条完美的直线.因此模型3.1并不总是可行.幸好通常企业都会有往年销售记录,利用这此数据可使用相关方法求出需求曲线,有了需求曲线,要求最优 价格便不是难事了.故关键是如何将商品的需求曲线找出来.因此我们对模型3.1进行改进.3.2线性回归模型通常企业都会记录自己商品的销售情况,包括价格,销售量等信息,这些数据,若在坐标平面上描点作图可得一些零星的点,从长远来看,所有这些点组合起来接近于一条直线(通常情况下),这就是我们要找的需求曲线.因此我们就可以使用线性回归方法拟合出需求曲
7、线.可以选取线性函数用最小二乘法[2]拟合数据.假设现有某商品销售记录如下：(表1)时间单位1234 ┅价格 ┅销量 ┅方法一：选取线性函数：………….（1）其中为待定参数.根据表格数据建立最小二乘法的法方程组[3]：54………………………（2）其中：解方程组（2）可得：的值.代回（1）式即可得出该商品的需求曲线表达式.方法二：记再令：……………（3）解方程组（3）即可求得的值.代回（1）式即可得需求曲线表达式.因此销售额表达式为：用模型3.1的极值法即可求出最大销售额. 3.3“自价格弹性”需求曲线仍使用表
8、1的数据,用数理统计的方法求出该商品的需求自价格弹性.记：求其数学期望[4]：则该商品的需求自价格弹性：或先令：再用数学期望：通常54是一负数，为了求出需求曲线，我们要使用原始数据，为此，先求出价格与销售量的数学期望：则需求曲线可表示为：得销售额表达式：最后使用模型3.1的极值法即可得最大销售额：. 3.4实际问题求
