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1、【MeiWei81-优质实用版文档】初二数学勾股定理【知识点归纳】考点一:勾股定理(1)对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)结论:①有一个角是30°的直角三角形,30°角所对的直角边等于斜边的一半。②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。(3)勾股定理的验证【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】例题:例1:已知直角三角形的两边,利用勾股定理求第三边。(1)在Rt△ABC中,∠C=90°①若
2、a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则Rt△ABC的面积是=________。(2)如果直角三角形的两直角边长分别为,2n(n>1),那么它的斜边长是( )A、2nB、n+1C、n2-1D、(3)在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是()A.B.C.D.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )A、25B、14C、7D、7或25例2:已知直角三角形的一边以
3、及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。(2)已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )A、24B、36C、48D、60(3)已知G、y为正数,且│G2-4│+(y2-3)2=0,如果以G、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()A、5B、25C、7D、15例3:探索勾股定理的证明有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形,拼成如图所示的五边形,利用这个图形证明勾股定理。【
4、MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】考点二:勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系,,那么这个三角形是直角三角形。(2)常见的勾股数:(3n,4n,5n),(5n,12n,13n),(8n,15n,17n),(7n,24n,25n),(9n,40n,41n)…..(n为正整数)(3)直角三角形的判定方法:①如果三角形的三边长a,b,c有关系,,那么这个三角形是直角三角形。②有一个角是直角的三角形是直角三角形。③两内角互余的三角形是直角三角形。④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这
5、个三角形是直角三角形。例题:例1:勾股数的应用(1)下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17(2)若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为( )A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7例2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(1)下面的三角形中:①△ABC中,∠C=∠A-∠B;②△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3;③△ABC中,a:b:c=3:4:5;④△ABC中,三边长分别为8,15,17.其中是直角三角形的个数有().A.1个B.2个C.3个D
6、.4个【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】(2)若三角形的三边之比为,则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形(3)已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形(5)若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。(6)△ABC的两边分别
7、为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为。例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。(2)已知三角形三边的比为1::2,则其最小角为。考点三:勾股定理的应用例题:例1:面积问题(1)下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.94(图1)(图2)(图3)(3)如图,△ABC为直角三角形,分别以AB,BC,AC为直径向外作半圆,用勾股定理说
8、明三个半圆的面积关系,可