初二数学--勾股定理讲义(经典)

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1、---第一章勾股定理【知识点归纳】1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题1、求长度问题2、最短距离问题勾股定理的应用3、航海问题4、网格问题5、图形问题6考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2b2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直

2、角边等于斜边的一半。②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（3）勾股定理的验证----baaabcbbccbbcaaabaab例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。（2）如果直角三角形的两直角边

3、长分别为n21，（），那么它的斜边长是（）2nn>1A、2nB、n+1C、n2－1D、n21（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.a2b2c2B.a2c2b2C.c2b2a2D.以上都有可能----（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）----A、25B、14C、7D、7或25----例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。（2）已

4、知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、24cm2、36cm2、48cm2、60cm2BCD（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，----那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（A、5B、25C、7D、15----）----例3：探索勾股定理的证明----有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。EAFGDBMHC考点二：勾股定理的逆定

5、理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n),..（n为正整数）（3）直角三角形的判定方法：①如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。②有一个角是直角的三角形是直角三角形。③两内角互余的三角形是直角三角形。④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例

6、题：例1：勾股数的应用（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）----A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17----（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）----A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7----例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；----④△ABC中，三

7、边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）若三角形的三边之比为21，则这个三角形一定是（）::122A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形（3）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（5）若△ABC的三

8、边长a,b,c满足a2b2c220012a16b20c，试判断△ABC的形状。（6）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。例3：求最大、最小角的问题（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。考点三