因式分解常用方法(方法全面最详细)

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1、实用文档因式分解的常用方法第一部分:方法介绍因式分解:因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式,主要有提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,换元法等因式分解的一般步骤是:(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;。注意:将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a

2、+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)(a+b)(a-b)=a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b); (2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2a

3、b+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知是的三边,且,则的形状是()A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解:三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:分析:从“整体”文案大全实用文档看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。解:原式==每组之间还有公因式!=例2、分解因式:解法一:第一、二项为一组;

4、解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。第二、三项为一组。解:原式=原式=====练习:分解因式1、2、(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式:分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。解:原式===例4、分解因式:解:原式===练习:分解因式3、4、综合练习:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点:(1)二次项系数是1;文案大全实用文档(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项

5、的两因数的和。思考:十字相乘有什么基本规律?例.已知0<≤5,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的.解析:凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求>0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数,例5、分解因式:分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。12解:=13=1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式:解:原式=1-1=1-6(-1)+(-6)=-7练

6、习5、分解因式(1)(2)(3)练习6、分解因式(1)(2)(3)(二)二次项系数不为1的二次三项式——条件:(1)(2)(3)分解结果:=例7、分解因式:分析:1-23-5(-6)+(-5)=-11解:=练习7、分解因式:(1)(2)(3)(4)(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式:文案大全实用文档分析:将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解:==练习8、分解因式(1)(2)(3)(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)

7、=-7y(-1)+(-2)=-3解:原式=解:原式=练习9、分解因式:(1)(2)综合练习10、(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)思考:分解因式:五、换元法。(1)、换单项式例1分解因式x6+14x3y+49y2.分析:注意到x6=(x3)2,若把单项式x3换元,设x3=m,则x6=m2,原式变形为m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.(2)、换多项式例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.分析:本题前面的两个多项式有相同的部分,我们可

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