届高三一轮复习数学精品资料：76 直线、圆的位置关系

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1、§7.6直线、圆的位置关系基础自测1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）（）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能答案B2.（2009·岳阳模拟）若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是（）A.-3＜a＜7B.-6＜a＜4C.-7＜a＜3D.-21＜a＜19答案B3.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为（）A.1

2、B.2C.3D.4答案B4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A.B.C.D.答案A5.(2008·重庆理，15)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为.答案x-y+1=0例1已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

3、（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明配方得：（x-3m）2+［y-（m-1）］2=25，设圆心为（x，y），则消去m得l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=.∵圆的半径为r=5，∴当d＜r，即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；当d=r,即b=±5-3时，直线与圆相切；当d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.（3）证明对

4、于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2且r和d均为常量.∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解方法一如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=.∴反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.∵已

5、知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1,∴=1,解得b1=-,b2=1.∴kAB=-或kAB=-.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,即12k2+25k+12=0.∴k1=-，k2=-.则l的方程为4x+

6、3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴消去b得=1.即12k2+25k+12=0,∴k1=-,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.例3已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1

7、:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果C1与C2外切，则有=3+2.(m+1)2+(m+2)2=25.m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.（2）如果C1与C2内含，则有＜3-2.(m+1)2+(m+2)2＜1,m2+3m+2＜0,得-2＜m＜-1,∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.例4（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.（1）若直线l过P且被

8、圆C截得的线段长为4，求l的方程；（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一如图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2，圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.2分设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.4分又直线l的斜率不