【9A文】因式分解公式大全

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】公式及方法大全待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．常用的因式分解公式：【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei

2、_81重点借鉴文档】　　例1分解因式：R2+3RR+2R2+4R+5R+3．　　分析由于　　(R2+3RR+2R2)=(R+2R)(R+R)，　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是R+2R+m和R+R+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．　　解设　　R2+3RR+2R2+4R+5R+3　　=(R+2R+m)(R+R+n)　　=R2+3RR+2R2+(m+n)R+(m+2n)R+mn，　　比较两边对应项的系数，则有　　解之得m=3，n=1．所以原式=(R+2R+3)(R+R+1)．　　说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解

3、一下．　　例2分解因式：R4-2R3-27R2-44R+7．【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】　　分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(R2+aR+b)(R2+cR+d)的形式．　　解设　　原式=(R2+aR+b)(R2+cR+d)　　　　=R4+(a+c)R3+(b+d+ac)R2+(ad+bc)R+bd，　　所以有　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有　　所

4、以　　原式=(R2-7R+1)(R2+5R+7)．　　说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】我们把形如anRn+an-1Rn-1+…+a1R+a0(n为非负整数)的代数式称为关于R的一元多项式，

5、并用f(R)，g(R)，…等记号表示，如　　f(R)=R2-3R+2，g(R)=R5+R2+6，…，　　当R=a时，多项式f(R)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(R)　　f(1)=12-3×　　我们把形如anRn+an-1Rn-1+…+a1R+a0(n为非负整数)的代数式称为关于R的一元多项式，并用f(R)，g(R)，…等记号表示，如　　f(R)=R2-3R+2，g(R)=R5+R2+6，…，　　当R=a时，多项式f(R)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(R)　　f(1)=12-3×1+2=0；　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=

6、12．　　若f(a)=0，则称a为多项式f(R)的一个根．　　定理1(因式定理)若a是一元多项式f(R)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(R)有一个因式R-a．【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】　　根据因式定理，找出一元多项式f(R)的一次因式的关键是求多项式f(R)的根．对于任意多项式f(R)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(R)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．　　定理2　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(R)

7、的整数根均为an的约数．　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．　　例2分解因式：R3-4R2+6R-4．　　分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，　　即R=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式R-2．　　解法1用分组分解法，使每组都有因式(R-2)．　　原式=(R3-2R2)-(2R2-4R)+(2R-4)　　　　=R2(R-2)-2R(R-2)+2(R-2)【MeiWei_81重点借鉴

8、文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】　　　　=(R-2)(R2-2R+2)．