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《【9A文】同济大学(高等数学)-第一章-函数极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节集合与函数1.1集合1.1.1集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母、、、表示集合，用小写字母
2、、、、表示集合的元素.如果是集合的元素，则表示为，读作“属于”；如果不是集合的元素，则表示为，读作“不属于”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合，可表示成={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合所有元素的共同特征为，则集合可表示为.例如，集合是不等式的解集，就可以表示为.由实数组成的集合，称
3、为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作，即；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作，即；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作，即；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作，即；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作.1.1.2区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设，且，则（1）开区间；（2）半开半闭区间，；（3）闭区间；（4）无穷区间，，，，.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表
4、示为（图1-1）：【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）图1-1在微积分的概念中，有时需要考虑由某点附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1设为某个正数，称开区间为点的邻域，简称为点的邻域，记作，即.在此，点称为邻域的中心，称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点的邻域去掉中心后，称为点的去心邻域，记作，即,图形表示为（图1-3）：图1-3其中称为点的左邻域，称为点的右邻域.1.2函数的概念1.2.1函数的定义定
5、义2设、是两个变量，是给定的数集，如果对于每个，通过对应法则，有唯一确定的与之对应，则称为是的函数，记作.其中为自变量，为因变量，为定义域,函数值的全体成为函数的值域，记作，即.函数的记号是可以任意选取的,除了用外,还可用“”、“”、“”等表示.但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】例1求函数的定义域.解的定义区间满足：；的定义区间满足：，解得.这两个函数定义区间的公共部分是.所以，所求
6、函数定义域为.例2判断下列各组函数是否相同.（1），；（2），；（3），.解（1）的定义域为，的定义域为.两个函数定义域不同，所以和不相同.（2）和的定义域为一切实数.,所以和是相同函数.（3），,故两者对应关系不一致，所以和不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例:例3函数，函数为符号函数，定义域为，值域.如图1-4：图1-4例4函数，此函数为取整函数，定义域为，设为任意实数,不超过的最大整数，值域.如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等
7、数学中还出现另一类函数关系，一个自变量通过对于法则有确定的值与之对应，但这个值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】1.2.2函数的性质设函数，定义域为，.（1）函数的有界性定义3若存在常数，使得对每一个，有，则称函数在上有界.若对任意，总存在，使，则称函数在上无界.如图1-6：图1-6例如函数在上是有界的:.函数在内无上界，在内有界.（2）函数的单调性设函数在区间上有定义,及为区间上任意两点,且
8、.如果恒有,则称在上是单调增加的；如果恒有,则称在上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称.如果在上有,则称为偶函数；如果在上有,则称为奇函数.例如，函数，由于，所以是偶函数；又如函数，由于，所以是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关
