高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.3函数的极限

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1、课　时　授　课　计　划课次序号：03一、课　　题：§1.3函数的极限二、课　　型：新授课三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；2.了解函数极限的性质．四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念．教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用．五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–31（2），2（3），3，6八、授课记录：授课日

2、期班　　次九、授课效果分析：第三节函数的极限复习1.数列极限的定义：；2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限．与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多．一、x→∞时函数的极限对一般函数y=f（x）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．定义1若ε＞0，X＞0，当x＞X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即

3、f(x)-A

4、<ε），则称x→+∞时，f（x）以

5、A为极限，记为f（x）=A．若ε＞0，X＞0，当x＜-X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即

6、f(x)-A

7、<ε），则称x→-∞时，f（x）以A为极限，记为f（x）=A．例1证明=0．证由于=≤，故ε＞0，要使＜ε，只要＜ε，即x＞．因此，ε＞0，可取X=，则当x＞X时，＜ε，故由定义1得=0．例2证明．证ε＞0，要使=10x＜ε，只要x＜lgε．因此可取X=｜lgε｜+1，当x＜-X时，即有｜10x-0｜＜ε，故由定义1得10x=0．定义2若ε＞0，X＞0，当｜x｜＞X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即

8、f(x)

9、-A

10、<ε），则称x→∞时，f（x）以A为极限，记为f（x）=A．为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限：f（x）→A（x→+∞）；f（x）→A（x→-∞）；f（x）→A（x→∞）．注若，则称为曲线的水平渐近线．由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理．定理1f（x）=A的充要条件是f（x）=f（x）=A．例3证明=1．证ε＞0，要使=＜ε，只需｜x+1｜＞，而｜x+1｜≥｜x｜-1，故只需｜x｜-1＞，即｜x｜＞1+．因此，ε＞0，可取X=1+，则当｜x｜＞X时，有＜ε，故由定义2得=1．二、x→x0时函数的极限现在我们

11、来研究x无限接近x0时，函数值f（x）无限接近A的情形，它与x→∞时函数的极限类似，只是x的趋向不同，因此只需对x无限接近x0作出确切的描述即可．以下我们总假定在点x0的任何一个去心邻域内都存在f（x）有定义的点．定义3设有函数y=f（x），其定义域DfR，若ε＞0，δ＞0，使得x∈（x0，δ）（即0＜｜x-x0｜＜δ）时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即｜f（x）-A｜＜ε），则称A为函数y=f（x）当x→x0时的极限，记为f（x）=A，或f（x）→A（x→x0）．研究f（x）当x→x0的极限时，我们关心的是x无限趋近x

12、0时f（x）的变化趋势，而不关心f（x）在x=x0处有无定义，大小如何，因此定义中使用去心邻域．函数f(x)当x→x0时的极限为A的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线y=A+ε和y=A-ε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点x0的一个δ邻域（x0-δ,x0+δ），当y=f(x)的图形上点的横坐标x在邻域（x0-δ,x0+δ）内，但x≠x0时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式

13、f(x)-A

14、<ε,或A-ε

15、－34例4证明=2．证函数f（x）=在x=1处无定义．ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x-1｜＜δ时，=｜x-1｜＜ε成立．因此，ε＞0，据上可取δ=ε，则当0＜｜x-1｜＜δ时，＜ε成立，由定义3得=2．例5证明sinx=sinx0．证由于｜sinx｜≤｜x｜，｜cosx｜≤1，所以｜sinx-sinx0｜=2≤｜x-x0｜．因此，ε＞0，取δ=ε，则当0＜｜x-x0｜＜δ时，｜sinx-sinx0｜＜ε成立，由定义3得sinx=sinx0．有些实际问题只需要考虑x从x0的一侧趋向x0时，函数f（x）的变化趋势，因此引入下面的函数

16、左右极限的概念．定义4设函数y=f（x），其定义域DfR，若ε＞0，δ＞0，当x∈(或x∈)时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε），则称A为f（x）当x→x0时的左（右）极限，记为f（x）=A（f（x）=A），或记为f（）=A（f（）=A）．由定义3和定义4可得